一线三等角型的相似三角形问题
一、问题引入
（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠B =∠ADE，那么一定存在的相似三角形是 。
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠B =∠EDF，那么一定存在的相似三角形是 。 A
F A E
E CBDCBD
图2
图1
二、例题讲解
在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作∠DEF=∠B，交AC于点F。 （1）求证：△DBE∽△ECF.
（2）当F是AC的中点时，求线段BE的长。
（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长。 A
F
D
BC E
三、变式练习
1、如图，已知等边△ABC的边长为6，D是BC边上一动点，∠EDF=60°。 （1） 求证：△BDE∽△CFD；
A（2） 当BD=1，CF=3时，求BE的长。
FE
CDB
1
2、如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，∠B =∠ADE，点D、E分别在BC、AC上（点D与B、C不重合）.设BD=x，AE=y，求y与x之间的函数关系式及定义域。
A
E BCD
3、已知等边△ABC的边长为8，点D、F、E分别在AB、BC、AC上，BD=3，E为AC的中点，当△BFD与△CEF相似时，求BF的值。
A
E
D
挑战自我：
BFC4、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2． （1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长．
2
A P D B C
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．
3
BCADADBC四、总结
当α为锐角时：AADEDEEBPCBPCBPC当α为直角时：DE当α为钝角时：EFBPCBPC
4
