5.2 模型的求解
微分方程（1）是可分离变量方程，容易得到
x(t)?1100e??t （3）
表明胃肠道中的药量x(t)随时间单调减少并趋于0。为了确定?，利用药物吸收
?=(In2)/5=0.13863的半衰期为5h，即x(5)?1100e?5??x(0)/?21100得/2,（1/h）。
将（3）代入方程（2），得到一阶线性微分方程，求解得
y(t)?1100???t??t(e?e) （4） ???表明血液系统中的药量y(t)随时间先增后减并趋于0。
为了根据药物排除的半衰期为6h来确定?，考虑血液系统只对药物进行排除的情况，这时y(t)满足方程
dy???y，若设在某时刻?有y(?)?a，则dt。 y(t)?ae??(t??),t??。利用y(??6)?a/2，可得?=（In2）/6=0.1155（1/h）
将?=0.1386和?=0.1155代入（3），（4），得（t的单位：h；x，y的单位：mg）
x(t)?1100e?0.1386t （5） y(t)?6600(e?0.1155t?e?0.1386t) （6）
5.3 结果分析
用MATLAB软件对（5），（6）作图，得图1.
12001000800x,y/mgx(t)600400y(t)20000510t/h152025
图1 胃肠道中药量x(t)和血液系统中药量y(t)
根据假设4，孩子的血液总量为2000ml，出现严重中毒的血药浓度100?g/ml和致命的血药浓度200?g/ml分别相当于血液中药量y达到200mg和400mg。由图1看出，药量y在约2h达到200mg，即孩子到达医院时已经出现严重中毒；如不及时施救，药量y将在约5h（到医院后3h）达到400mg。
由（6）容易精确地算出孩子到达医院时血液中药量y(2)=236.5mg，而计算药量达到400mg的时间（记作t1），则需要解非线性方程
6600(e?0.1155t1?e?0.1386t1)?400，用MATLAB软件计算可以得到t1=4.87h。
由图1还可以看出，血液中药量y(t)达到最大值的时间约在t=8h，即到达医
t2?院后6h，其精确值可由方程（2）或解（4）计算，记作t2，
In(1??/6?)=7.89h，
???且y(t2)?442.1mg。
六.解决方案
根据模型计算的结果，如不及时施救，孩子会有生命危险。根据调查，如采用口服活性炭来吸附药物的办法施救，药物的排除率可增加到?的2倍，即
0.2310。让我们计算一下，采用这种施救方案血液中药量y(t)的变化情况。 设孩子到达医院时刻（t=2）就开始施救，前面已经算出y(2)=236.5,由（2），（3），新的模型为（血液中药量记作z(t)）
dz??x??x,t?2,x?1100e??t,z(2)?236.5 （7） dt仍是一阶线性微分方程，只不过初始时刻为t=2，当?=0.1386（不变）而?=0.2310时，（7）的解为
z(t)?1650e?0.1386t?1609.5e?0.2310t,t?2 （8） 用MATLAB软件对（8）作图，如图2.
12001000800x,y,z/mgx(t)600400z(t)200y(t)00510t/h152025
图2 施救后血液系统中药量z(t)（活性炭吸附法）
由图2可看出，施救后血液中药量z(t)达到最大值的时间约在t=5h，即到达医院施救后3h，其精确值可由（8）算出，记作t3，且z(t3)=318.4mg，t3=5.26h，远低于y(t)的最大值和致命水平。
图2还表明，虽然采用了口服活性炭来吸附药物的办法施救，血液中药量z(t)仍有一段时间在上升，说明用这种方法药物的排除率增加还不够大。不妨计算一下，如果要使z(t)在施救后（t?2）立即下降，排除率?至少应该多大。
z(t)在t=2取得极大值，相当于t=2时（7）式满足
dz?(?x??z)t?2?0 （9） dtt?2由（5）算出x(2)?833.7，再利用前面已有的z(2)?236.5和??0.1386，立即得到??0.4885，约为原来（人体自身??0.1155）的4.2倍。
如果采用体外血液透析的办法，药物排除率可增加到??0.1155?6?0.693， 血液中药量下降更快，根据此时?的值重新求解（7）：
z(t)?275e?0.1386t?112.3e?0.6930t,t?2 （10） 并用MATLAB软件作图：
12001000800x,y,z/mgx(t)600400y(t)200z(t)00510t/h152025
图3 施救后血液系统中药量z(t)(体外透析法)
由图3可看出，z(t)在进行透析后，药量下降速度很快，说明用这种方法药物的排除率增加大；但是体外透析存在一定的危险性，所以临床上究竟是否需要采用这种方法，应由医生综合考虑并征求病人和家属意见后确定。
