第十二章| 推理与证明、算法、复数 第一节
合情推理与演绎推理
本节主要包括2个知识点： 1.合情推理； 2.演绎推理.
突破点(一) 合情推理
基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 类型 归纳推理 类比推理 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
归纳推理
运用归纳推理时的一般步骤
(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)； (2)把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)； (3)对所得出的一般性命题进行检验． 类型(一) 与数字有关的推理 [例1] 给出以下数对序列： (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) ……
记第i行的第 j 个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝( )
定义 根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 由特殊到特殊 特点 由部分到整体、由个别到一般 A．(m，n－m＋1) C．(m－1，n－m＋1)
B．(m－1，n－m) D．(m，n－m)
[解析] 由前4行的特点，归纳可得：若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴anm
＝(m，n－m＋1)．
[答案] A [易错提醒]
解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．
类型(二) 与式子有关的推理
[例2] (1)(2016·山东高考)观察下列等式：
?sinπ?－2＋?sin2π?－2＝4×1×2； ?3??3?3
?sinπ?－2＋?sin2π?－2＋?sin3π?－2＋?sin4π?－2＝4×2×3； ?5??5??5??5?3?sinπ?－2＋?sin2π?－2＋?sin3π?－2＋…＋?sin6π?－2＝4×3×4； ?7??7??7??7?3?sinπ?－2＋?sin2π?－2＋?sin3π?－2＋…＋?sin8π?－2＝4×4×5； ?9??9??9??9?3
…… 照此规律，
?sinπ?－2＋?sin2π?－2＋…＋?sin2nπ?－2＝________.
?2n＋1??2n＋1??2n＋1?
14xx427xx
(2)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋x≥2，x＋2＝＋＋2≥3，x＋3＝＋＋
x22xx33x27a
＋3≥4，…，类比得x＋xn≥n＋1(n∈N*)，则a＝________. 3x
π2π－－
[解析] (1)观察前4个等式，由归纳推理可知?sin2n＋1?2＋?sin2n＋1?2＋…＋
????
?sin2nπ?－2＝4×n×(n＋1)＝4n?n＋1?.
33?2n＋1?
(2)第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.
4n?n＋1?
[答案] (1) (2)nn
3[方法技巧]
与式子有关的推理类型及解法
(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解．
(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．
类型(三) 与图形有关的推理
[例3] 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )
A．21 B．34 C．52
D．55
[解析] 因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.
[答案] D [方法技巧]
与图形有关的推理的解法
与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．
类比推理
1．类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下： 类比定义 类比性质 在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解 从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键 有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移 类比方法 2．平面中常见的元素与空间中元素的类比：
平面 空间
[例4] 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b(a>b)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m∶n，则可推算出：EF＝ma＋nb
.用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCDm＋n
点 线 线 面 圆 球 三角形 三棱锥 角 二面角 面积 体积 周长 表面积 … … 中，分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设△OAB，△ODC的面积分别为S1，S2，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是( )
A．S0＝
mS1＋nS2
m＋n
nS1＋mS2
B．S0＝
m＋nC.S0＝D.S0＝
mS1＋nS2
m＋nnS1＋mS2
m＋n
[解析] 在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何中点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF＝的面积S0与S1，S2的关系是S0＝
[答案] C [方法技巧]
类比推理的步骤和方法
(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为： ①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． (2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点二]由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt?m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”； ⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； acaa·ca
⑥“bc＝b”类比得到“＝”．
b·cb
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )
mS1＋nS2
.
m＋n
ma＋nb
类比到关于△OEFm＋n
