1．2 导数的计算
1．2.1 几个常用函数的导数
1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
, [学生用书P11])
1．问题导航
－1
12(1)函数y＝c，y＝x，y＝x，y＝x，y＝x的导数分别是什么？能否得出y＝xn的导数公式？
(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式分别是什么？如何应用这些公式？
2．例题导读
通过对P14例1的学习，应注意以下两个问题： (1)用导数公式直接求函数的导数．
(2)变化率的实际意义及利用导数知识解决实际问题的优越性．
1．几个常用函数的导数
(1)若y＝f(x)＝c，则f′(x)＝0． (2)若y＝f(x)＝x，则f′(x)＝1． (3)若y＝f(x)＝x2，则f′(x)＝2x．
11－
(4)若y＝f(x)＝，则f′(x)＝－2＝－x2．
xx1(5)若y＝f(x)＝x，则f′(x)＝ .
2x2．基本初等函数的导数公式
(1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝0．
αα－
(2)若f(x)＝x(α∈Q*)，则f′(x)＝αx1． (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos_x． (4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin_x． (5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝axln_a． (6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex．
1(7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝．
xln a1(8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝. x
2
扫一扫 进入91导学网(www.91daoxue.com) 基本初等函数的导数公式
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y＝x3＋2，则y′＝3x2＋2.( )
11
(2)若y＝，则y′＝2.( )
xx
－x
(3)若y＝2，则y′＝x·2x1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×
2．余弦曲线y＝cos x在(0，1)处的切线的斜率为( ) A．1 B．0 πC. D．－1 2
答案：B
3．若y＝25，则y′＝________． 答案：0
α
4．已知f(x)＝x，若f′(－1)＝－4，则α＝________． 答案：4
1．对常数函数导数的几何意义与物理意义的两点说明
(1)常数函数的导数为0，其几何意义为f(x)＝c在任意点处的切线平行于x轴或与x轴重合，其斜率为0.
(2)若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．
2．函数y＝kx(k为常数)的导数值k与该函数增减快慢之间的关系
(1)函数y＝kx(k>0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越慢．
(2)函数y＝kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k|越大，函数减少得越快，|k|越小，函数减少得越慢．
利用导数公式求函数的导数[学生用书P12]
求下列函数的导数： 15(1)y＝x12；(2)y＝4；(3)y＝x3；
x
1?xx?(4)y＝?2?；(5)y＝2cos2－1.
2
1211
[解] (1)y′＝(x)′＝12x.
1?4－4－5
4′＝(x)′＝－4x＝－5. (2)y′＝??x?x3－23
(3)y′＝(x)′＝x′＝x5＝ .
5525xxx1?－1?1?ln 2. (4)y′＝?ln 2＝－?2??2?x
(5)y＝2cos2－1＝cos x，
2
∴y′＝－sin x.
5
3()35
用公式求函数导数的方法：
(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式
3
153－4
的基本函数的模式，如y＝4可以写成y＝x，y＝x可以写成y＝x5等，这样就可以直接使
x
用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
1
1．(1)已知函数f(x)＝3，则f′(－3)＝( )
x
A．81 B．243
1
C．－243 D．－ 27
－3
解析：选D.∵f(x)＝x，
3－
∴f′(x)＝－3x4＝－4，
x31
∴f′(－3)＝－. 4＝－27（－3）
1
(2)已知f(x)＝ln x且f′(x0)＝2，则x0＝________．
x0
解析：∵f(x)＝ln x(x>0)，
1
∴f′(x)＝，
x
11
∴f′(x0)＝＝2，
x0x0
∴x0＝1. 答案：1
导数的几何意义
(1)求曲线y＝ex在x＝0处的切线方程． [解] ∵y′＝(ex)′＝ex，
∴曲线y＝ex在x＝0处的切线斜率为e0＝1， 又∵切线过点(0，1)，
∴切线方程为y－1＝x－0， 即x－y＋1＝0.
(2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
[解] 由于y＝sin x，y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)， 所以两条曲线在P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝y′|x＝x0＝cos x0， k2＝y′|x＝x0＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直， 必有cos x0·(－sin x0)＝－1，
即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
利用导数的几何意义解决曲线切线问题的方法：
1
1
－－
2．若曲线y＝x2在点(a，a2)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于________．
1－31－3
解析：∵y′＝－x2，∴切线的斜率k＝－a2，
22
11－3－∴切线方程是y－a2＝－a2(x－a)．
2
3－1
令x＝0，得y＝a2，
2
令y＝0，得x＝3a，
13－1
∴三角形的面积S＝·3a·a2＝18，解得a＝64.
22
答案：64
导数几何意义的综合应用[学生用书P12]
＋
(1)设曲线y＝xn1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则
x1·x2·?·xn的值为( )
11A. B. nn＋1nC. D．1 n＋1
＋
[解析] 对y＝xn1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn. 令x＝1，得在点(1，1)处的切线的斜率k＝n＋1， ∴在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)，
n
令y＝0，则xn＝，
n＋1
n－1123n1
∴x1·x2·?·xn＝×××?××＝，故选B.
234nn＋1n＋1
[答案] B (2)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．
[解析] ∵ f′(x)＝3ax2＋1， ∴ f′(1)＝3a＋1. 又f(1)＝a＋2，
