考点一 条件概率 在计算条件概率时，必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，从而选择合适的条件概率公式，分别求出相应事件的概率进行计算．其中特别注意事件AB的概率的求法，它是指事件A和B同时发生的概率，应结合题目的条件进行计算．如果给出的问题涉及古典概型，那么也可以直接用古典概型的方法进行条件概率的求解．在计算时，在事件A发生的前提下缩减基本事件总数，求出其包含的基本事件数，再在这些基本事件中，找出事件A发生的条件下，事件B包含的基本事件数，然后利用古典概型公式求得条件概率．
[典例1] 有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取
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2件，求：
(1)第一次抽到次品的概率；
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；
(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率． [解] 记第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B. 51
(1)第一次抽到次品的概率为P(A)＝＝.
204
1
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝.
19
114
(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B|A)＝÷＝. 19419[对点训练]
1．抛掷5枚硬币，在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下，问：正面朝上数恰好是3枚的条件概率是多少？
解：法一：记至少出现2枚正面朝上为事件A，恰好出现3枚正面朝上为事件B，所求
345
概率为P(B|A)，事件A包含的基本事件的个数为n(A)＝C25＋C5＋C5＋C5＝26，
n（AB）n（B）105
事件B包含的基本事件的个数为n(B)＝C3＝＝＝. 5＝10，P(B|A)＝n（A）n（A）2613
345
C2265＋C5＋C5＋C5
法二：事件A，B同上，则P(A)＝＝， 5232
C3105P(AB)＝P(B)＝5＝，
232所以P(B|A)＝
考点二 相互独立事件的概率 P（AB）P（B）5
＝＝.
P（A）P（A）13
“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．因此，在事件A与B相互独立的情况下，可用公式P(AB)＝P(A)P(B)求事件A，B同时发生的概率．
[典例2] 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”，则该课程考核“合格”．甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9，0.8，0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8，0.7，0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响．
(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
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(2)求这三人该课程考核都合格的概率．(结果保留三位小数) [解] 记“甲理论考核合格”为事件A1，记A1为A1的对立事件； 记“乙理论考核合格”为事件A2，记A2为A2的对立事件； 记“丙理论考核合格”为事件A3，记A3为A3的对立事件；
记“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3.
(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记C为C的对立事件． 法一：P(C)＝P(A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3) ＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)
＝0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.7＝0.902. 法二：P(C)＝1－P(C)
＝1－P(A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3)
＝1－[P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)]
＝1－(0.1×0.2×0.3＋0.9×0.2×0.3＋0.1×0.8×0.3＋0.1×0.2×0.7) ＝1－0.098＝0.902.
所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902. (2)记“三人该课程考核都合格”为条件D. 则P(D)＝P(A1B1A2B2A3B3) ＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9 ≈0.254，
所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254. [对点训练]
2．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P(ξ≤1)．
解：(1)设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式，知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.
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红队至少两人获胜的事件有DEF，DEF，DEF，DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
(2)由题意，知ξ的可能取值为0，1，2，3. P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，
P(ξ＝1)＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DE F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，
所以P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.45.
考点三 离散型随机变量的分布列及均值、方差 均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，现实生产生活中应用广泛．
离散型随机变量的均值与方差是概率统计知识的延伸，在实际问题特别是风险决策中有着重要意义，因此在高考中是一个热点问题．求离散型随机变量X的均值与方差的步骤：
(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值； (2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)； (3)写出X的分布列；
(4)由分布列和均值的定义求出E(X); (5)由方差的定义，求D(X)．
[典例3] 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，12
除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相
23互独立．
(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方是2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列及均值．
[解] (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意知各局比赛结果相互独立，
2?8
故P(A1)＝?＝?3?27，
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