圆
一、和圆有关的基本概念
1.圆：
把线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕着点O在平面内旋转1周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。 3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。 轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 4.直径：经过圆心的弦。
5.弧：圆上任意两点间的部分。优弧：大于半圆的弧。劣弧：小于半圆的弧。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 6.弦：连接圆上任意两点的线段。 7.弦心距——圆心到直线的距离
8.弓形——弧与所对的弦所组成得图形
9.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 10.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（圆心不同）
11.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。 12.圆心角：顶点在圆心的角。
13.圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。
14.圆的切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长。 15.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角 16.圆内角、圆外角及性质：
顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半.
顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.
17.正多边形：①定义：各边相等、各角也相等的多边形
②对称性：都是轴对称图形；有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。
18.圆锥：
①：母线：连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段。②：高：连接顶点与底面圆的圆心的线段。
20.三角形的外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的
内接三角形。
三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的外心的性质：三角形的外心到各个顶点的距离相等。 三角形的内心的性质：三角形的内心到各个边的距离相等
21.定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
1
二、圆的对称性：
A圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；
垂径定理——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论 O①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 EDC②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 B④在同圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
依据垂径定理及其推论①②③可概括为定理：对于一条直线和一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么也具备其他三个：①垂直弦②过圆心③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧 即： ①AB是直径 ②AB?CD ③CE?DE ④ 弧BC?弧BD ⑤ 弧AC?弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC?弧BD 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；其特有旋转不变性。
1、圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理——在同圆或等圆中，相等的圆心 角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①?AOB??DOE；②AB?DE；③OC?OF；④ 弧BA?弧BD 推论——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中
有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等 2、圆周角与圆心角的关系：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵?AOB和?ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴?AOB?2?ACB 3、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O中，∵?C、?D都是所对的圆周角 ∴?C??D
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的 弦是直径。 即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵?C?90? ∴?C?90? ∴AB是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC中，∵OC?OA?OB∴△ABC是直角三角形或?C?90? 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边 的一半的逆定理。
4、圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O中， ∵四边形ABCD是内接四边形
∴?C??BAD?180? ?B??D?180? ?DAE??C
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BOAACBODEFCOADBDCBOACBOACCDBAE
三、确定圆的条件
1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆
2.经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 3.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。 4.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。 5.三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点，它到三角形三边距离相等
四、和圆有关的位置关系
1.点和圆：
如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么
d d=r 点P在圆上 d>r 点P在圆外 2.直线和圆： ①直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。 ②直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。 ③直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 d d=r 直线l与⊙O相切 d>r 直线l与⊙O相离 圆的切线垂直于经过切点的半径。 经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。 从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 3.圆和圆： ①两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。 ②两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切，这个唯一的公共点叫做切点。 ③两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆相交。 ④两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切，这个唯一的公共点叫做切点。 （两个圆外切和内切统称为两个圆相切。） ⑤两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。 （两圆同心是两圆内含的一种特例。） 如果两圆的半径分别为R、r，圆心距为d，那么 两圆外离 d>R+r 两圆外切 d=R+r R-r 两圆内含 0≤d 3 五、一些重要的圆的相关定理 圆幂定理 （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P，∴PA?PB?PC?PD （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即：在⊙O中，∵直径AB?CD， ∴CE?AE?BE （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交 点的两条线 段长的比例中项。 即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线 ∴ PA?PC?PB （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。 即：在⊙O中，∵PB、PE是割线 ∴PC?PB?PD?PE 两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：O1O2垂直平分AB。 即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 ∴O1O2垂直平分AB BAO1O2PCDOBAE22BOPCADCBOEDA圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： （1）公切线长：Rt?O1O2C中，AB2?CO12?O1O22?CO22； （2）外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 CABO1 4 O2
