(i)limf(x)?0,limg(x)?0x?x0x?x0(ii)f与g在x0的某空心邻域u0(x0)内可导，且g'(x)?0f'(x)(iii)lim'?A(A可为实数，也可为??或?），则
x?x0g(x)f(x)f'(x)lim?lim'?Ax?x0g(x)x?x0g(x)此定理是对
0型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。 0注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点： 1、 要注意条件，也就是说，在没有化为
0?,时不可求导。 0?2、 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。 3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是
未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。
f'(x)4、当lim' 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用
x?ag(x)另外方法。
例： 求下列函数的极限
1ex?(1?2x)①limx?0ln(1?x2)2 ②lim1lnx(a?0,x?0)
x???xa2x解：①令f(x)= e?(1?2x)2, g(x)= ln(1?x)
'f(x)?e?(1?2x)\x'x?12, g(x)?\2x
1?x222(1?x) f(x)?e?(1?2x)2,g(x)?22(1?x)?3由于f(0)?f(0)?0,g(0)?g(0)?0 但f(0)?2,g(0)?2 从而运用罗比塔法则两次后得到
\\'' 9
ex?(1?2x)limx?0ln(1?x2)12ex?(1?2x)?limx?02x1?x2ax????12ex?(1?2x)?limx?02(1?x2)(1?x2)2?32?2?1 2② 由limlnx??,limx?? 故此例属于
x????型，由罗比塔法则有： ?1lnx1lima?limx?lim?0(a?0,x?0) x???xx???axa?1x???axa
14、利用泰勒公式
对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：
x2xn?????o(xn) 1、e?1?x?2!n!xx3x5x2n?1n?12、sinx?x??????(?1)?o(x2n)
3!5!(2n?1)!2nx2x4nx3、cosx?1??????(?1)?o(x2n?1) 2!4!(2n)!nx2n?1x????(?1)?o(xn) 4、ln(1?x)?x?2n5、(1?x)??1??x?6、
?(??1)2!x2????(??1)?(??n?1)n!xn?o(xn)
1? 1?x?x2????xn?o(xn) 1?xn上述展开式中的符号o(x)都有:
o(xn)limn?0 x?0x例:求limx?0a?2x?a?x(a?0)
x解:利用泰勒公式，当x?0 有
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1?x?1?x2?o(x) 于是 lima?2x?a?xx?0x
a(1?2x=lima?1?xa)x?0x
a??1?1(2x)?o(x)?1?1?x?o(x)??=lim?2a2a?x?0x
a?x=lim2a?o(x)12ax?o(x)1x?lim x?0x?0x?2a
15、利用拉格朗日中值定理 定理:若函数f满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导 则在(a ,b)内至少存在一点?,使得
f'(?)?f(b)?f(a)b?a
此式变形可为:
f(b)?f(a)b?a?f'(a??(b?a)) (0???1)
: 求 limex?esinx例x?0x?sinx
解:令f(x)?ex 对它应用中值定理得
ex?esinx?f(x)?f(sinx)?(x?sinx)f'(sinx??(x?sinx)) (0???1)ex?esinxx?sinx?f'(sinx??(x?sinx)) (0???1)
:
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即?f'(x)?ex连续
?limf'(sinx??(x?sinx))?f'(0)?1
x?0ex?esinx?1 从而有: limx?0x?sinx16、求代数函数的极限方法 (1)有理式的情况，即若:
P(x)a0xm?a1xm?1????amR(x)?? (a0?0,b0?0) nn?1Q(x)b0x?b1x????bn(I)当x??时，有
?a0? m?n?b?0mm?1?a0x?a1x????am?P(x)??lim?lim?0 m?n?? x??Q(x)x??bxn?bxn?1????b01n?? m?n???????(II)当x?0 时有: ①若Q(x0)?0 则 limP(x)P(x0) ?x?0Q(x)Q(x0)P(x)??
x?0Q(x)②若Q(x0)?0 而 P(x0)?0 则lim③若Q(x0)?0,P(x0)?0,则分别考虑若x0为P(x)?0的s重根,即:P(x)?(x?x0)P1(x) 也为Q(x)?0的r重根,即:
sQ(x)?(x?x0)rQ1(x) 可得结论如下：
?0 , s?r???(x?x0)s?rP1(x)?P1(x0)P(x)?lim?lim?? , s?r? x?x0Q(x)x?x0Q1(x)?Q1(x0)?? ,s?r??? ?例：求下列函数的极限
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