“拓扑学基础”试题及答案
一、单项选择题（每小题2分，共20分）
1、设X?{1,2,3}，则下列是X的拓扑的是【 A 】
A、{X,?,{1}} B、{X,?,{1,2},{2,3}} C、{X,?,{2},{3}} D、{X,?,{1},{2},{3}} 2、下列有关连续映射f:X?Y正确的是【 B 】 A、对X中的任意开集U，有f(U)是Y中的一个开集 B、Y中的任何一个闭集B，有fC、Y中的任何一个子集A，有f?1(B)是X中的一个闭集 (A)?f?1(A)
?1D、若f还是一一映射，则f是一个同胚映射
3、设X和Y是两个拓扑空间，A是X的一个子集，则下列错误的是【 C 】 A、若f:X?Y是连续的，则f|A:A?X也是连续的
B、若f:X?Y是一个同胚，则f|A:A?f(A)也是一个同胚。 C、f:X?f(X)是一个连续映射，则f:X?Y不一定是一个连续映射 D、若X可嵌入Y，则X的任何一个子空间也可嵌入Y 4、设X是一个拓扑空间，A?X，则?(A)=【 D 】
000?A、A?A? B、A?A?? C、?(A) D、?(X?A)
5、下列有关连通性的命题正确的是【 C 】
A、若A和B是拓扑空间X中的两个隔离子集，且X?A?B，则X是不连通的。 B、有理数集Q作为实数空间?子空间是一个连通空间
C、若Y1,Y2均为X的连通子集，且Y1?Y2??，则Y1?Y2也是X的一个连通子集 D、设Y是X的一个连通子集，Z?X，若Y?Z，则Z也是X的一个连通子集 6、下列拓扑性质中，没有继承性的是【 D 】
A、T1空间 B、T2空间 C、T3空间 D、T4空间 7、下列有关命题，正确的是【 B 】
A、若拓扑空间X是连通的，则X一定是局部连通的 B、若拓扑空间X是道路连通的，则X一定是连通的 C、若拓扑空间X是局部连通的，则X一定是道路连通的 D、若拓扑空间X是连通的，则X一定是道路连通的 8、下列有关实数空间?，不正确的是【 D 】
A、它满足第一可数性公理 B、它满足第二可数性公理
C、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理 D、它的任何一个子空间都是连通的 9、下列有关Lindel?ff空间的描述正确的是【 A 】
A、任何一个满足第二可数性公理的空间都是Linde?ff空间 B、任何一个Lindel?ff空间都是第二可数性空间 C、Lindel?ff空间的子空间还是Linde?ff空间
1
D、满足第一可数性公理的空间的每一个子空间都是Linde?ff空间
10、设A是度量空间（X,?）中的一个非空子集，则下列命题错误的是【 C 】 A、x?d(A)当且仅当?(x,A?{x})?0 B、x?d(A)当且仅当?(x,A)?0
C、对?x?A，且有B(x,?)?A??，则A为X中的一个开集 D、x?A当且仅当?(x,A)?0
二、填空题（每空2分，共20分）请将答案写在横线上。
1、若拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称 是一个 可分空间 。
2、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映下的象所具有，则称这个性质是一个 在连续映射下保持不变的性质 。
3、设E是实数空间?的一个子集，E是一个连通子集当且仅当E是一个 区间 。 4、实数空间?中的有理数集Q，则d(Q)= ? 。 5、设Y是拓扑空间(X,J)的一个子空间，则Y的拓扑为 J|Y 。
a,b)a|?b,?且a?b} 。 6、实数空间?的一个基是 {(7、集合X的两个度量?1和?2是等价的，若A是(X,?1)中的一个闭集，则A是(X,?2)中的一个 闭 集。
8、恰含2个点的拓扑空间一共有 3 个同胚等价类。
9、设X是一个拓扑空间，D?X，若D是X的一个稠密子集，则D= X 。 10、设X是一个拓扑空间，C是X的一个连通分支，则C= C 。
三、名词解释（每小题3分，共12分）
1、紧致空间
答：设X是一个拓扑空间，如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间。
2、同胚映射
答：设X与Y是两个拓扑空间，如果f:X?Y是一个一一映射，并且f与f?1:Y?X都是连续
的，则称f是一个同胚映射。
3、不连通空间
答：设X是一个拓扑空间，如果X中的有两个非空的隔离子集A和B，使得X?A?B，则称拓扑空间X是一个不连通空间。
4、稠密子集
答：设X是一个拓扑空间，D?X，如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即D?X，则称D是拓扑空间X的一个稠密子集。
四、证明题（第1小题8分，其余每小题10分，共48分）
2
1、（8分）设(X,?)是一个离散的度量空间，证明： （1）（4分）X的每一个子集都是开集
（2）（4分）若Y也是一个度量空间，则任何映射f:X?Y都是连续的 证明：
（1）对X中的任意一个子集U
11?x?U，令B(x,)?{y?X|?(x,y)?}
22又 ?X是一个离散的度量空间 ∴ 当x?y时 ?(x,y)?1
1?B(x,)?{x}
21?x?B(x,)?? 从而U是X中的开集
2（2）（4分）对Y中的任意一个开集V，f?1(V)是X中的一个子集
?X是一个离散的度量空间。
由（1）知：f?1(V)是X中的开集
?f是一个连续映射
2、（10分）设X?{a,b,c}，J?{X,?,{a,b},{b}} （1）（3分）验证J是X的一个拓扑 （2）（7分）若A?{b,c}，求d(A) 证明：
（1）?X,??J
{a,b}?{b}?{b}?J {a,b}?{b}?{a,b}?J
?J是X的一个拓扑
（2）
对点a，对点a的任意邻域U，都有
a?{a,b}?U，而U?(A?{a})?{a,b}?(A?{a})??
?a?d(A)
对点b ?{b}?J ?{b}为点b的一个开邻域 且{b}?(A?{b})?? ?b?d(A)
对于点c，其只有一个邻域X，且x?(A?{c})??
?c?d(A)
?d(A)?{a,c}
3、（10分）设X和Y是两个拓扑空间，f:X?Y，证明以下两个条件等价
3
（1）f连续； （2）对于Y的每一个子集B，有f证明： （1）?（2）
?1(B0)?(f?1(B))0
?B0?B???
?f?1(B0)?f?1(B??1)?f?1(Y?B??)?X?f?1(B??)
又 ?f连续
∴对于Y中的任何一个子集C，有f?1(C)?f?1(C)
?f?1(B0)?X?f?1(B??)?X?f?1(B?)?X?X?f?1(B)
?(f?1(B))????(f?1(B))0
即 f?1(B0)?(f?10(B)成立)
?1（2）?（1），对Y的任何一个子集B，f(B0)?(f?1(B))0成立
?f?1(B???)?(f?1(B))???
?X?f?1(B??)?X?(f?1(B))?? ?f?1(B??)?(f?1(B))???(f?1(B?))?
令A?B?，则A是Y中的一个子集，且f由B的任意性可知A的任意性
?1(A?)?f?1(A)
?f是连续的
4、（10分）设Y是拓扑空间X的一个子集，证明：Y是X的一个不连通子集，当且仅当X中存在两个非空集合A和B，使得Y?A?B,A?B??,Y?A??和Y?B??成立。 证明：
充分性：?Y?A?B ?Y?A?B?A?B 令A1?Y?A，A2?Y?B 则 Y?A1?A2
?A?B??
?A1?A2?Y?A?Y?B?A?B?Y??
同理有A1?A2??
?Y?A??,Y?B??
?Y?A?Y?A??,Y?B?Y?B??
即A1,A2为Y的非空隔离子集
?Y是不连通子集
必要性：?Y是X的一个不连通子集
则存在Y中的两个非空隔离子集A1,B，使得：
Y?A1?B1
且A1,B1为Y中的两个闭子集 从而A1,B1为X中的两个闭子集
4
?A1?B1??,Y?A1??,Y?B1??
5、（10分）设X和Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个连续映射，证明：如果X是一个Lindel?ff空间，则f(X)也是一个Lindel?ff空间。 证明：
?f:X?Y是一个连续映射 ?f:X?f(X)也是一个连续映射
设A为f(X)的任意一个开覆盖，即
f(X)?UA
?X?f(UA)?Uf?1(A)
A?AA?AA?A?1∵ f连续 ??A?A ，fA?A?1(A)是X中的开集
?Uf?1(A)是X的一个开覆盖
又?X是Lindel?ff空间 ∴ 存在一个可数子覆盖
A?A1A1?A 使得：
Uf?1(A)?X
从而f(UA?A1f?1(A))?f(X)
即UA?f(X)
A?A1?f(X)也是Lindel?ff空间
5
