17、设A是一个三阶实矩阵，如果对任一三维列向量X，都有XTAX=0，则 （A）|A|=0 （B）|A|>0 （C）|A|<0 （D）以上都不对 18、设A为n阶可逆阵，?为A的一个特征值，则A的伴随阵A*的一个特征值是 （A）?|A| （B）?|A| （C）?|A| （D）?19、设A为n阶方阵，且Ak=0（k为正整数）则 （A）A=0 （B）A有一个不为零的特征值 （C）A的特征值全为零 （D）A有n个线性无关的特征向量 20、设n阶方阵A为正定矩阵，下列结论不对的是 （A）A可逆 （B）A-1也是正定矩阵 （C）|A|>0 （D）A的所有元素全为正 21、设一个n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r(A)?n?3，且的三个线性无关的解，则 是此方程组的基础解系。
（A）
?1,?2,?3?1n?1?1|A|n?1
?1,?2,?3为此方程组
（B）
?1??2,?2??3,?3??1???,???,????
2123 （D）121323 （C）1122、4阶实对称矩阵的全体按矩阵的加法和数乘所组成的线性空间的维数是 （A）4维 （B）8维 （C）6维 （D）10维
?,???,?????23、向量空间Vn(F)的单位变换?的象及核的维数分别是 （A）1，n-1 （B）n-1，1 （C）0，n （D）n，0
?111?A??012??222?33
??对任意??F,令?(?)?A?，则线性24、已知数域F上三元列空间F取
变换?的核及象的维数分别是
（A）1，2 （B）2，1 （C）0，3 二、计算题：
（D）3，0
?1c??a?A?5b3??1?c0?a???，其行列式|A|=-1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值?0，1、设矩阵
??(?1,?1,1)属于?0的一个特征向量为，求a，b，c和?0的值
???2?z?2bxy?2xz?2yz?4可以经过正交变换????x????y?P????z?????
2、已知二次曲面方程x?ay2222化为椭圆柱面方程??4??4，求a，b的值和正交矩阵P
?1?(1,1,2,3)?3、设B是秩为2的5×4矩阵，
?3?(5,?1,?8,9)?，
?2?(?1,1,4,?1)?，
是齐次线性方程组Bx=0的解向量，求Bx=0的解空间的一个标准正交基。
?1??2?12?????1A??5a3???1???1b?2???是矩阵??的一个特征向量， 4、已知
1）试确定参数a，b及特征向量对应的特征值
2）问A能否相似于对角阵？说明理由。
5、已知三阶矩阵A的特征值为1，-1，2设矩阵B=A3-5A2， 试求（1）矩阵B的特征值及其相似矩阵，并说明理由； （2）行列式|B|及|A-5E|
6、设A是n阶方阵，是A的n个特征值，试求行列式|A-3E|的值。
T
7、设A是n阶矩阵，满足AA=E |A|<0 求|A+E|
??2,4,?,2n8、设n阶实对称矩阵A满足A2=A且R(A)=r，试求|2E-A| 9、设n阶矩阵A满足A2=A且R(A)=r，试求|2E-A|
22210、设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?2x1x2?2x1x3?2?x2x3通过正交变换化为标准222形f?2y1?2y2??y3求常数?,?及所用正交变换矩阵Q，若XTX=3，求f的最大值。
11、设向量组
?1,?2,?3线性无关，问常数l，m满足什么条件时，向量组
l?2??1,m?3??2,?1??3线性无关？
?12、求向量组
?1?(1,1,2,2,1)??2?(0,2,1,5,?1)??3?(2,0,3,?1,3)?
?4?(1,1,0,4,?1)的秩和一个最大无关组。
?123?A??x1?1??11x???，已知?1?1是A的一个特征值，求x及A的其他特征值。 13、设
14、设3阶方阵A的特征值为?1?1?1?(1,2,2)??2?0?3??1，它们对应的特征向量依次为
??，?1?(2,?2,1)，?3?(?2,?1,2)，求方阵A。
15、设实对称3阶方阵A的特征值为?1?6为
?2?(?1,0,1)??2??3?3，且对应于?2??3的特征向量
，
?3?(1,?2,1)?，求方阵A对应特征值?1?6的特征向量?1及矩阵A。
?3?20?A???22?2??0?21???化为对角矩阵。 16、求相似正交变换T，把实对称矩阵
0??120?2x00?A??002?1??00?1y???是正定的？ 17、x，y取何值时，矩阵
18、设n阶矩阵的每行元素之和都是a，试证??a是A的一个特征值，并求A的对应于??a的特征值。
?34?4?3A??00?00?19、设
4
00100?0?1?1??求An
20、设R的两组基为（I）
?2??2??3??4?3??3??4?1,?2,?3,?4 （II）?1??1??2??3
（1）求由基（I）到基（II）的过渡矩阵
（2）求在基（I）和基（II）下有相同坐标的全体向量。 21、已知R3的基底为1下的坐标。
22、已知R3的两组基：
???4??4
??(1,1,0)?2?(1,0,1)?3?(0,1,1)求
??(2,0,0)在基底
?1?(1,0,1),?2?(1,0,?1),?3?(1,1,1)???
??1?(1,2,1),?2?(2,3,4),?3?(3,4,3)
V1?V2,V1?V2求
{?1,?2,?3}到
{?1,?2,?3}的过渡矩阵A。
，求
的基和维数，其中
23、设
V1?L(?1,?2,?3),V2?L(?1,?2)?1?(1,2,?1,?2),?2?(3,1,1,1),?3?(?1,0,1,?1)?1?(2,6,?6,?5),?2?(?1,2,?7,3)
?10A??0w??0024、设
002w???1?3i?w??其中2
（1）证明A的全体实系数多项式，对于矩阵多项式的加法和数量乘法构成实数域上的
线性空间。
（2）求这个线性空间的维数及一组基。 三、证明题：
kk?1Ax?0有解向量?，1、设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组，且Ax?0，
k?1证明：向量组?,A?,?,A?是线性无关的。
2、已知线性方程组
?a11x1?a12x2???a1,2nx2n?0??a21x1?a22x2???a2,2nx2n?0???????????????an1x1?an2x2???an,2nx2n?0（I）??
?的一个基础解系为(b11,b12,?,b1,2n)，(b21,b22,?,b2,2n)……(bn1,bn2,?,bn,2n)
试写出线性方程组
?b11y1?b12y2???b1,2ny2n?0??b21y1?b22y2???b2,2ny2n?0???????????????by?by???bn,2ny2n?0（II）?n11n22?
的通解，并说明理由。
?3、设A是一个m×k矩阵，B是一个k×n矩阵，x?(x1,x2,?,xn,)，又已知A矩阵
的秩r(A)?k，证明：（1）齐次线性方程组ABx=0与Bx=0是同解方程组；（2）r(AB)=r(B) 4、已知A、B为n阶对称方阵，B的特征多项式是f(?)，求证矩阵f(A)可逆的充要条件是：B的任一特征值都不是A的特征值。
5、若方阵A满足A2?A，证明A的特征值只能是0或1。
2
6、A是正定矩阵，试证存在正定矩阵B，使得A=B。 7、设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)?n
8、试证若A是n阶矩阵，且满足
9、设n阶实对称的幂等阵（即A2=A）的秩为r（0 ?（1）证明二次型xAx是半正定的 2n（2）计算det[E?A?A???A] AA??E,|A|??1,则|E?A|?0 10、设B?AA?，其中A?(a1,a2,?,an)，且ai为非零实数(i?1,2,?,n) （1）证明B?lB，并求数l（k为正整数） （2）求可逆矩阵P，使P-1BP为对角矩阵，并写出该对角矩阵。 11、设A是n阶方阵，?1,?2,?,?n是n维列向量，已知 A?1??2,A?2??3,?,A?n?1??n,A?n?0且?n?0k? （1）证明?1,?2,?,?n线性无关； （2）求出A的全部特征值与特征向量。 ??12、设A?E?XY，X，Y均是n×1矩阵，且XY?3 *求：（1）A的特征值和特征向量；（2）|A?2E|其中A*为A的伴随矩阵。 13、设A是n阶正定矩阵， ??1,?21,?,?r是非零的n维列向量， 线性无关。 ?iA?j?0(i?j,i,j?1,2,?,r)?A?14、设分块矩阵?B?B??D?，证明： ?1,?21,?,?r正定，证明：D?BA?1B?也正定 15、设?为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明 1（1）?为A?1的特征值 |A|（2）?为A的伴随矩阵A*的特征值 16、设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1。 17、A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关。 18、设A*是n阶矩阵A的伴随矩阵，证明 ?n?R(A)??1??0*（1） R(A)?nR(A)?n?1R(A)?n?1 *n?1（2）|A|?|A| ?19、若对所有的n维列向量x，恒有xAx?0，证明A是反对称矩阵。 20、已知 ?1,?2,?,?s线性无关，?可由 ?1,?2,?,?s线性表示，且表示的系数全 2s不为零，证明1中任意s个向量线性无关。 21、设A、B均为实对称矩阵，A正定，则必存在满秩矩阵P，使A、B同时化为对角矩阵。 22、设A是n阶实对称矩阵，则当t充分大时，A+tE为正定矩阵。 ?1?1?123、如果A、B，A+B都是正交矩阵，证明(A?B)?A?B。 24、如果A、B都是正定矩阵，证明A+B也是正定矩阵。 ?,?,?,?,?25、设A是m×n，m＜n矩阵，证明AA?正定?r(A)?m。 26、设A为n阶方阵，且r(A)?n，试证A?A为正定阵。 27、证明若A是正定矩阵，则A?1也是正定矩阵。 28、设A为n阶正交矩阵，证明如果|A|??1，则A的特征值???1。 29、已知A是n阶正定矩阵，令二次型 的矩阵为B1。 试证（1）B1是正定矩阵。（2）| B1|>|A| 30、设A是m×n矩阵，它的m个行向量是某个n元线性齐次方程组的一组基础解系，又B是一个可逆的m阶矩阵。证明BA的行向量也构成该线性方程组的一组基础解系。 31、设A是一个m×n矩阵，证明存在非零的n×s矩阵B使得AB=0?A的秩小于n，即r(A)?n。 32、秩为r的m×n矩阵A，任取s行作s×n新矩阵B，证明r(B)?r?s?m。 33、A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，且m＞n试证|AB|=0 34、A为m×p矩阵，B为p×n矩阵，若AB=0，试证r(A)?r(B)?p。 35、设A是m×n矩阵，B是k×n矩阵，证明 ??A??max{r(A),r(B)}?r???r(A)?r(B)?B????? f(x1,x2,?,xn)?xAx?xn?2
