f(x)
∴函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，
x
f(a)f(b)
又a>b>0，∴<，即bf(a) ab 12．设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝x·f′(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是 ( ) A．f(1)与f(－1) C．f(－2)与f(2) [答案] C B．f(－1)与f(1) D．f(2)与f(－2) [解析] 由图象知f′(2)＝f′(－2)＝0. ∵x>2时，y＝x·f′(x)>0，∴f′(x)>0， ∴y＝f(x)在(2，＋∞)上单调递增； 同理f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，2)上单调递减， ∴y＝f(x)的极大值为f(－2)，极小值为f(2)，故选C. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(文)已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________． [答案] 4 [解析] ∵y′＝3x2＋6ax＋3b， 2???3×2＋6a×2＋3b＝0?a＝－1 ∴???， 2 ?3×1＋6a×1＋3b＝－3???b＝0 ∴y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，则x＝0或x＝2， ∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4. (理)定积分?3－216＋6x－x2dx＝________. ? [答案] 25π 4 16＋6x－x2，即(x－3)2＋y2＝25(y≥0)． [解析] 设y＝∵?3－2 ? 16＋6x－x2dx表示以(3,0)为圆心，5为半径的圆的面积的四分之一． 25π 16＋6x－x2dx＝. 4? 14．(文)函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________． [答案] a>2或a<－1 ∴?3－2 [解析] f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.因为函数f(x)有极大值和极小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4a2－4a－8>0，解得a>2或a<－1. (理)函数y＝?x(sint＋costsint)dt的最大值是______． ?0 [答案] 2 [解析] y＝?x(sint＋costsint)dt ? 0 1 ＝?x(sint＋sin2t)dt 2? 0 1 ＝(－cost－cos2t)|x0 4 15 ＝－cosx－cos2x＋ 4415 ＝－cosx－(2cos2x－1)＋ 4413＝－cos2x－cosx＋ 221 ＝－(cosx＋1)2＋2≤2. 2 当cosx＝－1时取等号． 1 15．已知函数y＝－x3＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在R上不是单调减函数，则b的取值范围 3 是________． [答案] b<－1或b>3 [解析] y′＝－x2＋2bx－(2b＋3)，要使原函数在R上单调递减，应有y′≤0恒成立， ∴Δ＝4b2－4(2b＋3)＝4(b2－2b－3)≤0，∴－1≤b≤3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b<－1或b>3. 16．(文)对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数?an? 列?n＋1?的前n项和是________． ?? ＋ [答案] 2n1－2 [解析] ∵y＝xn(1－x)，∴y′＝(xn)′(1－x)＋(1－x)′·xn＝n·xn－1(1－x)－xn. f ′(2)＝－n·2n－1－2n＝(－n－2)·2n－1. 在点x＝2处点的纵坐标为y＝－2n. ∴切线方程为y＋2n＝(－n－2)·2n－1(x－2)． 令x＝0得，y＝(n＋1)·2n， ∴an＝(n＋1)·2n， ?2(2n－1)?an???的前n项和为∴数列?＝2n＋1－2. ?n＋1??2－1? (理)设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0<φ<π)．若f(x)＋f ′(x)是奇函数，则φ＝________. π [答案] 6[解析] f ′(x)＝－3sin(3x＋φ)， f(x)＋f ′(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ) 5π 3x＋φ＋?. ＝2sin?6??若f(x)＋f ′(x)为奇函数，则f(0)＋f ′(0)＝0， 5π5π φ＋?，∴φ＋＝kπ(k∈Z)． 即0＝2sin?6??6 π 又∵φ∈(0，π)，∴φ＝. 6 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直， (1)求实数a、b的值； (2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围． [解析] (1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)， ∴a＋b＝4.① f′(x)＝3ax2＋2bx，则f′(1)＝3a＋2b， 1 由条件f′(1)·(－)＝－1，即3a＋2b＝9，② 9由①②式解得a＝1，b＝3. (2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x， 令f′(x)＝3x2＋6x≥0得x≥0或x≤－2， ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2]和[0，＋∞)由条件知m≥0或m＋1≤－2， ∴m≥0或m≤－3. (理)已知函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝2x2＋b，它们的图象在x＝1处有相同的切线． (1)求函数f(x)和g(x)的解析式； 1 (2)如果F(x)＝f(x)－mg(x)在区间[，3]上是单调增函数，求实数m的取值范围． 2[解析] (1)f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝4x， ????f(1)＝g(1)?1＋a＝2＋b?a＝1， 由条件知?，∴?，∴? ?f′(1)＝g′(1)????3＋a＝4?b＝0， ∴f(x)＝x3＋x，g(x)＝2x2. (2)F(x)＝f(x)－mg(x)＝x3＋x－2mx2， ∴F′(x)＝3x2－4mx＋1， 1 若F(x)在区间[，3]上为增函数，则需F′(x)≥0， 23x2＋1 即3x2－4mx＋1≥0，∴m≤. 4x 3x2＋11133 令h(x)＝，x∈[，3]，则h(x)在区间[，3]上的最小值是h()＝， 4x2232 3 因此，实数m的取值范围是m≤. 2 18．(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋3在x＝－1和x＝2处取得极值． (1)求f(x)的表达式和极值． (2)若f(x)在区间[m，m＋4]上是单调函数，试求m的取值范围． [解析] (1)依题意知：f′(x)＝6x2＋2ax＋b＝0的两根为－1和2， ?－3＝－1＋2∴?a ?6＝－1×2， a ??a＝－3，∴? ??b＝－12. ∴f(x)＝2x3－3x2－12x＋3. ∴f′(x)＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)． 令f′(x)>0得，x<－1或x>2；令f′(x)<0得，－1 ∴f(x)极大＝f(－1)＝10.f(x)极小＝f(2)＝－17. (2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1]和[2，＋∞)上单调递增，在[－1,2]上单调递减． ??m≥－1， ∴m＋4≤－1或?或m≥2.∴m≤－5或m≥2， ??m＋4≤2， 即m的取值范围是(－∞，－5]∪[2，＋∞)． 371 1，?，(理)(2010·广东中山)已知函数f(x)＝ax3＋(sinθ)x2－2x＋c的图象过点?6?且在(－2,1)?2 内单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． (1)求f(x)的解析式； 45 (2)若对于任意x1，x2∈[m，m＋3](m≥0)，不等式|f(x1)－f(x2)|≤恒成立，试问这样的m 2 是否存在？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由． [解析] (1)∵f′(x)＝3ax2＋xsinθ－2， ???f′(1)＝0?3a＋sinθ－2＝0 由条件可知?，∴?， ???f′(－2)≤0?12a－2sinθ－2≤0 1 ∴sinθ≥1，∴sinθ＝1，∴a＝， 3 11 ∴f(x)＝x3＋x2－2x＋c， 323722 又由f(1)＝得c＝， 631122 ∴f(x)＝x3＋x2－2x＋. 323 (2)f′(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，易知f(x)在(－∞，－2)及(1，＋∞)上均为增函数，在(－2,1)上为减函数， ①当m>1时，f(x)在[m，m＋3]上单调递增， ∴f(x)max＝f(m＋3)，f(x)min＝f(m)． 11111545 由f(m＋3)－f(m)＝(m＋3)3＋(m＋3)2－2(m＋3)－m3－m2＋2m＝3m2＋12m＋≤ 323222得，－5≤m≤1，这与条件矛盾． ②当0≤m≤1时，f(x)在[m,1]上递减，在[1，m＋3]上递增，∴f(x)min＝f(1)，f(x)max为f(m)与f(m＋3)中较大者， 159 ∵f(m＋3)－f(m)＝3m2＋12m＋＝3(m＋2)2－>0，(0≤m≤1)， 22 45 ∴f(x)max＝f(m＋3)，∴|f(x2)－f(x1)|≤f(m＋3)－f(1)≤f(4)－f(1)＝恒成立， 2故当0≤m≤1时，原不等式恒成立， 综上，存在m∈[0,1]符合题意． 19．(本小题满分12分)(文)设函数f(x)＝x2－2tx＋4t3＋t2－3t＋3，其中x∈R，t∈R，将f(x)的最小值记为g(t)． (1)求g(t)的表达式； (2)讨论g(t)在区间[－1,1]内的单调性； (3)若当t∈[－1,1]时，|g(t)|≤k恒成立，其中k为正数，求k的取值范围． [解析] (1)f(x)＝(x－t)2＋4t3－3t＋3，当x＝t时，f(x)取到其最小值g(t)，即g(t)＝4t3－3t＋3.
