课时跟踪检测(二十七) 平面向量的数量积与平面向量应用举例
第Ⅰ组：全员必做题
1．(2014·武汉调研)已知向量a，b，满足|a|＝3，|b|＝23，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为( )
π
A. 23πC. 4
2π B. 35π D.
6
2．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量AB＝(1,1)，n＝(1，－1)，且n·AC＝2，则n·BC等于( )
A．－2 C．0
B．2 D．2或－2
3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上取一点P，使AP·BP有最小值，则P点的坐标是( )
A．(－3,0) C．(3,0)
B．(2,0) D．(4,0)
π4．(2014·昆明质检)在直角三角形ABC中，∠C＝，AC＝3，取点D使BD＝2DA，那
2么CD·CA＝( )
A．3 C．5
B．4 D．6
5．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC·EM的取值范围是( )
1?
A.??2，2? 13?C.??2，2?
3
0，? B.??2? D.[0，1]
6．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.
7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量MN的模为________．
8．(2013·山东高考)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λ AB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．
9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
10．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sin A)，n＝(1，－sin A)，且m⊥n. (1)求A的大小；
(2)当AB＝pm，AC＝qn(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．
第Ⅱ组：重点选做题
1．(2013·湖南高考)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )
A.2－1 C.2＋1
B.2 D.2＋2
112．(2013·天津一中月考)在四边形ABCD中，AB＝DC＝(1,1)，BA＋BC| BA|| BC|＝
3| BD|
答 案
第Ⅰ组：全员必做题
1．选D a⊥(a＋b)?a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b5π故所求夹角为. 6
2．选B n·(BA＋AC)＝n·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2. BA＋n·AC＝(1，－1)·BC＝n·3．选C 设P点坐标为(x,0)，
则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)．
a，b＝0，故
a，b＝－
3
，2
BD，则四边形ABCD的面积为________．
BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1) AP·
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1. 当x＝3时，AP·BP有最小值1. ∴此时点P坐标为(3,0)，故选C. 4．选D 如图，CD＝CB＋BD. 又∵BD＝2DA，
22
∴CD＝CB＋BA＝CB＋(CA－CB)，
3321
即CD＝CA＋CB，
33π
∵∠C＝，∴CA·CB＝0， 221
CA＋ CB?·∴CD·CA＝?3?3?CA 21
＝CA2＋CB·CA＝6，故选D. 33
5．选C 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)， 0≤x≤1.
11
1，?，C(1,1)，所以EM＝?1－x，?，EC＝(1－x,1)，又M?2??2??112
1－x，?·所以EM·(1－x,1)＝(1－x)＋.因为0≤x≤1，所以EC＝?2??213?113
≤(1－x)2＋≤，即EM·的取值范围是?EC?2，2?. 222
6．解析：∵a，b的夹角为45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a|·|b|·cos 45°＝∴|2a－b|2＝4－4×∴|b|＝32. 答案：32
7．解析：∵a∥b，∴x＝4.∴b＝(4，－2)， ∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)． ∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0， 即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4. ∴向量MN＝(－8,8)，∴|MN|＝82. 答案：82
8．解析：由于AP⊥BC，所以AP·即(λAB＋AC)·(ACBC＝AC－AB，BC＝0，
2
|b|， 2
2
|b|＋|b|2＝10. 2
1
－?＝0，解得λ－AB)＝－λAB2＋AC2＋(λ－1)AB·AC＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×??2?7
＝. 12
7
答案：
12
1
－?＝－16. 9．解：由已知得，a·b＝4×8×??2?(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝43. ②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a－2b|＝163. (2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)， ∴(a＋2b)·(ka－b)＝0， ∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直． 10．解：(1)∵m⊥n，∴3cos2A－sin2A＝0. 1
∴3cos2A－1＋cos2A＝0，∴cos2A＝.
4又∵△ABC为锐角三角形， 1π
∴cos A＝，∴A＝. 2333
(2)由(1)可得m＝?，?，
?42?n＝?1，－
?
213?.∴|AB|＝p，
42?|AC|＝
7
q. 2
121
∴S△ABC＝|AB|·|AC|·sin A＝pq.
232又∵p＋q＝6，且p>0，q>0，
p＋q
∴p·q≤，∴p·q≤3.∴p·q≤9.
221189
∴△ABC面积的最大值为×9＝. 3232第Ⅱ组：重点选做题
1．选C 建立平面直角坐标系，令向量a，b的坐标a＝(1,0)，b＝(0,1)，令向量c＝(x，y)，则有?x－1?2＋?y－1?2＝1，|c|的最大值为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1,1)到原点的距离加圆的半径，即2＋1.
2．解析：由AB＝DC＝(1,1)，可知四边形ABCD为平行四边形，且|AB|＝|DC|＝2，因为
1| BA|
BA＋
1| BC|
BC＝
3
| BD|
BD，所
以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC，四边形ABCD为菱形，其边长为2，且对角线BD长等于边长的3倍，即BD＝3×2＝6，则CE2＝(2)2－?＝
6?21
＝，即CE?2?2
21233，所以三角形BCD的面积为×6×＝，所以四 边形ABCD的面积为2×＝3. 2答案：3
222
2
