约当形矩阵
???? 约当块：形如J?????1?1????的n阶矩阵称为n阶约当块； 1??????J1? 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵J????称为约当形矩阵。
J2???（Ji是约当块）Jn???1定理：任何矩阵A都相似于一个约当形矩阵，即存在n阶可逆矩阵PAP?J。
第六章 二次型
二次型与对称矩阵
只含有二次项的n元多项式f()称为一个n元二次型，简称二次型。 标准型：形如 的二次型，称为标准型。 规范型：形如 的二次型，称为规范型。 线性变换
矩阵的合同：设AB是n阶方阵，若存在一个n阶可逆矩阵C，使得 则称A与B是合同的，记作A B。
合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、
化二次型为标准型：配方法、做变换（二次型中不含有平方项）
第一章 行列式
一．行列式的定义和性质
1. 余子式Mij和代数余子式Aij的定义
0例1行列式
10?11?110?11?110B．?1 D．2
第二行第一列元素的代数余子式A21?（ ）
?11?1A．?2 C．1
测试点 余子式和代数余子式的概念
0解析
10?11?110?11?110,A21?(?1)2?1?11?11M21???11?110?101?10012??1 ?11??0?1答案 B
2．行列式按一行或一列展开的公式 1）A?aijnn??aijAij,j?1,2,i?1nn;(A?aijn??aijAij,i?1,2,j?1nn)
k?jnk?i?A?A;?aijAkj?? 2）?aijAik?? k?jk?i00i?1j?1??例2 设某3阶行列式的第二行元素分别为?1,2,3,对应的余子式分别为?3,?2,1则此行列式的值为 .
测试点 行列式按行(列)展开的定理
2?12?22?3解 D?(?1)?A21?2A22?3A23?(?1)(?1)M21?2(?1)M22?3(?1)M23
??3?4?3??10
例3 已知行列式的第一列的元素为1,4,?3,2，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x 问x? . 测试点 行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零.
解 因第一列的元素为1,4,?3,2，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x,故1?2?4?3?(?3)?4?2x?0 所以x??1
壱拾
3．行列式的性质 1）AT?A.
2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开.
6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.
a11例4 已知a21a12a22a32a13a332a11?2a312a12a22?2a32B.?12 D. 12
2a13a23?（ ） ?2a33a23?3，那么a21a31A.?24 C.?6
测试点 行列式的性质
2a11解析 a212a12a22?2a322a13?2a33a11a31a12a22a32a13a23??12. a33a23?2?(?2)a21?2a31答案 B 例5设行列式A．?3 C．1
a1a2b1a=1，1b2a2c1a=2，则1c2a2b1?c1b2?c2=（ ）
B．?1 D．3
测试点 行列式的性质
a1解
a2故应选 D 答案 D
b1?c1a1?b2?c2a2b1a1?b2a2c1?3 c2二．行列式的计算
1．二阶行列式和三角形行列式的计算.
2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算. 3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5.范德蒙行列式的计算公式
壱拾壱
1114113112111111例6求4阶行列式的值. 测试点 行列式的计算
1114解
111?4113112111111002?3010?3000?302?3?10?3?(?3)00?30210?6
123233例7计算3阶行列式 249499.
367677123233解 249100(1)?(?1)(2)233(2)?(?1)(3)100203?200409?0. 300607499?200499300677367677xaaa例8 计算行列式：
axaaxaxaa
aaa测试点 各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.
xaaa解 D?x?3aaaa?x?3axaaxaxx?3aa?x?3a000ax?a00a0x?a0a00x?a?
axaaxaxaaaaax?3aaa?(x?3a)(x?a)3.
ab00ab例9计算行列式Dn?000000ab0a
00a000b00测试点 行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算
壱拾弐
