电流元所受的力的大小为dF = I2dlB，其中dl = Rdθ，B = μ0I1/2πr，而r = Rcosθ， 所以向右的分别为dFx = dFcosθ = μ0I1I2dθ/2π，积分得
?0I1I2?/2?IIFx?d?d??012，
2?40电流I2所受的合力大小为F = 4Fx = μ0I1I2，方向向右．
14.22 如图所示，斜面上放有一木制圆柱，质量m = 0.5kg，半径为R，长为 l = 0.10m，圆柱上绕有10匝导线，圆柱体的轴线位导线回路平面内．斜面倾角为θ，处于均匀磁场B = 0.5T中，B的方向竖直向上．如果线圈平面与斜面平行，求通过回路的电流I至少要多大时，圆柱才不致沿斜面向下滚动？
B θ o 解：线圈面积为 S = 2Rl，磁矩大小为pm = NIS，方向与B成θ角，所以磁力θ 矩大小为Mm = |pm×B| = pmBsinθ = NI2RlBsinθ，方向垂直纸面向外．重力大小G 图14.22
为 G = mg，
力臂为L = Rsinθ，重力矩为 Mg = GL = mgRsinθ，方向垂直纸面向里．圆柱不滚动时，两力矩平衡，即NI2RlBsinθ = mgRsinθ，解得电流强度为I = mg/2NlB = 5(A)．
14.23 均匀带电细直线AB，电荷线密度为λ，可绕垂直于直线的轴O以ω角速度均速转动，设直线长为b，其A端距转轴O距离为a，求： ω B （1）O点的磁感应强度B；
b （2）磁矩pm；
（3）若a>>b，求B0与pm．
解：（1）直线转动的周期为T = 2π/ω，在直线上距O为r处取一径向线元o dr，所带的电量为dq = λdr，形成的圆电流元为dI = dq/T = ωλdr/2π， 在圆心O点产生的磁感应强度为dB = μ0dI/2r = μ0ωλdr/4πr， 整个直线在O点产生磁感应强度为
a A 图15.23 ?0??a?b1?0??a?b，如果λ > 0，B的方向垂直纸面向外． B?dr?ln?4?ar4?a（2）圆电流元包含的面积为S = πr2，形成的磁矩为 dpm = SdI = ωλr2dr/2，积分得
pm???a?b2?ar2dr???6[(a?b)3?a3]．
如果λ > 0，pm的方向垂直纸面向外．
（3）当a>>b时，因为
B??0?????b???bb． ln(1?)?0(?...)， 所以B?04?a4?a4?a??a3b3??a3bb2b3??a2b． pm?[(1?)?1]?[3?3()?()]?6a6aaa2
14.24 一圆线圈直径为8cm，共12匝，通有电流5A，将此线圈置于磁感应强度为0.6T的均强磁场中，求：
（1）作用在线圈上的电大磁力矩为多少？
（2）线圈平面在什么位置时磁力矩为最大磁力矩的一半．
解：（1）线圈半径为R = 0.04m，面积为S = πR2，磁矩为pm = NIS = πR2NI，磁力矩为M = pmBsinθ．
当θ = π/2时，磁力矩最大
Mm = pmB = πR2NIB = 0.18(N·m)．
（2）由于M = Mmsinθ，当M = Mm/2时，可得sinθ = 0.5，θ = 30°或150°．
*14.25 在半径为R，通以电流I2的圆电流的圆周上，有一无限长通以电
R 流I1的直导线（I1，I2相互绝缘，且I1与圆电流I2所在平面垂直），如图
O 所示，求I2所受的力矩．若I1置于圆电流圆心处（仍垂直），I2所受力矩
I1 I2 又如何？
解：在x轴上方的圆周上取一电流元I2dl，其大小为I2dl = I2Rdθ， 所受的安培力为 dF = I2dl×B， 其大小为 dF = |I2dl×B| = I2RdθBsinφ，
其中φ = θ/2，B是电流I1在电流元I2dl处产生的磁感应强度
图15.25 φ B I2dl I1 r R O φ θ I2 x ?I?0I1， B?01?2?r4?Rcos?因此安培力的大小可化为
dF??0I1I2?tan?d，力的方向垂直纸面向里． 4?2如果在x轴下方取一电流元，其受力方向垂直纸面向外，因此，圆周所受的安培力使其
绕x轴旋转．
?0I1I2R2?sind? 2?22??IIR?IIR1电流所受的力矩为M?012?(1?cos?)d??012．
22?20电流元所受的力矩为dM?dF(Rsin?)? 如果电流I1置于圆电流圆心处，那么I2就与I1产生的磁力线重合，
所受的力为零，力矩也为零．
14.26 一个电子在B = 20×10-4T的磁场中，沿半径R = 2cm的螺旋线运动，螺距h = 5cm，如图所示，求： （1）电子的速度为多少？ （2）B的方向如何？
解：电子带负电，设速度v的方向与磁力线的负方向成θ角，则沿着磁力线方向的速度为v1 = vcosθ，垂直速度为v2 = vsinθ．
由 R = mv2/eB，得 v2 = eBR/m． 由 h = v1T，得 v1 = h/T = heB/2πm，
22因此速度为v?v1?v2?B R O I1 I2 R h 图15.26 eBh6
s-1)； R2?()2= 7.75×10(m·
m2?由 tan??v22?R= 2.51，得 θ = 68.3° = 68°18′． ?v1h
Y B 14.27 一银质条带，z1 = 2cm，y1 = 1mm．银条置于Y方向的均匀磁场中B = 1.5T，如图所示．设电流强度I = 200A，自由电子数n = 7.4×1028
o 个·m-3，试求：
y1 （1）电子的漂移速度；
Z 图15.27 （2）霍尔电压为多少？
X z1 I 解：（1）电流密度为 δ = ρv，其中电荷的体密度为ρ = ne.
电流通过的横截面为S = y1z1，电流强度为I =δS = neSv，得电子的漂移速度为
v?I1=8.45×10-4(m·s-1)． ?28?19neS7.4?10?1.6?10?0.001?0.02（2）霍尔系数为
RH?11= 8.44×10-11(m3·C-1)， ?28?19ne7.4?10?1.6?10霍尔电压为
IB200?1.5-5?11UH?RHy?8.44?1010.001= 2.53×10(V)．
