∴AD=DF，
∵△ABE≌△FCE， ∴AE=EF， ∴DE⊥AF． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 18．（2015?黄冈）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE．
求证：四边形ABCD为平行四边形．
【分析】首先证明△AEB≌△CFD可得AB=CD，再由条件AB∥CD可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠DCA=∠BAC， ∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠BEC， ∴∠AEB=∠DFC， 在△AEB和△CFD中
，
∴△AEB≌△CFD（ASA）， ∴AB=CD， ∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 19．（2016?鄂州）如图，?ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N． （1）求证：四边形CMAN是平行四边形． （2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．
【分析】（1）只要证明CM∥AN，AM∥CN即可． （2）先证明△DEM≌△BFN得BN=DM，再在RT△DEM中，利用勾股定理即可解决问题．
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【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，
∵AM⊥BD，CN⊥BD， ∴AM∥CN，
∴CM∥AN，AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形．
（2）∵四边形AMCN是平行四边形， ∴CM=AN，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB，CD∥AB，
∴DM=BN，∠MDE=∠NBF， 在△MDE和△NBF中，
，
∴△MDE≌△NBF， ∴ME=NF=3，
在RT△DME中，∵∠DEM=90°，DE=4，ME=3， ∴DM=∴BN=DM=5．
=
=5，
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是记住平行四边形的判定方法和性质，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 20．（2016?北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，AD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．
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（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN=BM+MN即可解决问题． 【解答】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点， ∴MN∥AD，MN=AD，
在RT△ABC中，∵M是AC中点， ∴BM=AC，
∵AC=AD， ∴MN=BM．
（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC=30°，
由（1）可知，BM=AC=AM=MC， ∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°， ∵MN∥AD，
∴∠NMC=∠DAC=30°，
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，
222
∴BN=BM+MN，
由（1）可知MN=BM=AC=1，
∴BN=
【点评】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 21．（2013?永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3 （1）求证：BN=DN； （2）求△ABC的周长．
222
【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；
（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可． 【解答】（1）证明：在△ABN和△ADN中， ∵
，
∴△ABN≌△ADN（ASA）， ∴BN=DN．
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（2）解：∵△ABN≌△ADN， ∴AD=AB=10，
又∵点M是BC中点， ∴MN是△BDC的中位线， ∴CD=2MN=6，
故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形． 22．（2016?广州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．
【分析】首先证明OA=OB，再证明△ABO是等边三角形即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴AO=OB， ∵AB=AO， ∴AB=AO=BO，
∴△ABO是等边三角形， ∴∠ABD=60°．
【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型． 23．（2015?聊城）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE． 求证：四边形BECD是矩形．
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