北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷
5．已知函数f(x)?x?bcosx，其中b为常数．那么“b?0”是“f(x)为奇函数”的（ ） （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
高三数学（理科） 2013.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
1．已知集合A?{x?R|0?x?1}，B?{x?R|(2x?1)(x?1)?0}，则A?B?（ ） （A）(0,)
216．已知a,b是正数，且满足2?a?2b?4．那么a2?b2的取值范围是（ ） （A）(,54165)
（B）(,16)
54（C）(1,16) （D）(165,4)
7．某四面体的三视图如图所示．该四面体的
六条棱的长度中，最大的是（ ） （A）25 （B）26 （B）(?1,1)
1（C）(??,?1)?(,??)
2（D）(??,?1)?(0,??)
2．在复平面内，复数（A）第一象限
5i2?i的对应点位于（ ）
（C）第三象限
（D）第四象限
（B）第二象限
?6（C）27 （D）42
8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的
概率是（ ）
3．在极坐标系中，已知点P(2,)，则过点P且平行于极轴的直线的方程是（ ）
（A）?sin??1
（B）?sin??3 （C）?cos??1
（D）?cos??3
4．执行如图所示的程序框图．若输出S?15， 则框图中 ① 处可以填入（ ） （A）k?2 （B）k?3 （C）k?4 （D）k?5
（A）
221 （B）
463 （C）
121 （D）
263
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知向量a?(1,3)，b?(?2,1)，c?(3,2). 若向量c与向量ka?b共线，则实数k? _____．
?10．如图，Rt△ABC中，?ACB?90，AC?3，
BC?4．以AC为直径的圆交AB于点D，则 BD? ；CD?______．
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11．设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn．若a1?1，则k?______． a3?4，Sk?63，12．已知椭圆
x216．（本小题满分14分）
如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为正方形，PA?PD，PA?平面PDC，
4?y22?1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上．若|PF1|?|PF2|?2，
E为棱PD的中点．
（Ⅰ）求证：PB// 平面EAC；
则△PF1F2的面积是______． 13．已知函数f(x)?sin(2x?若f(x)的值域是[?12π6)，其中x?[?π6,a]．当a??3（Ⅱ）求证：平面PAD?平面ABCD；
时，f(x)的值域是______；
（Ⅲ）求二面角E?AC?B的余弦值．
,1]，则a的取值范围是______．
14．已知函数f(x)的定义域为R．若?常数c?0，对?x?R，有f(x?c)?f(x?c)，则称函
数f(x)具有性质P．给定下列三个函数：
①f(x)?2x； ②f(x)?sinx； ③f(x)?x3?x．
其中，具有性质P的函数的序号是______．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
在△ABC中，已知3sin2B?1?cos2B． （Ⅰ）求角B的值； （Ⅱ）若BC?2，A?
?4
17．（本小题满分13分）
生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 元件A [70,76) 8 [76,82) 12 [82,88) 40 40 [88,94) 32 29 [94,100] 8 ，求△ABC的面积．
元件B 7 18 6 （Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正
品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，
（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．
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18．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?xx?b220．（本小题满分13分）
，其中b?R．
如图，设A是由n?n个实数组成的n行n列的数表，其中aij(i,j?1,2,3,?,n)表示位于第i行第j列的实数，且aij?{1,?1}.记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合．
对于A?S(n,n)，记ri(A)为A的第i行各数之积，cj(A)为A的第j列各数之积．令
nnij（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）设b?0．若?x?[,]，使f(x)?1，求b的取值范围．
4413
19．（本小题满分14分）
如图，已知抛物线y?4x的焦点为F．过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1)，
B(x2,y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．
2l(A)??r(A)??ci?1j?1(A)．
（Ⅰ）请写出一个A?S(4,4)，使得l(A)?0； （Ⅱ）是否存在A?S(9,9)，使得l(A)?0？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的A?S(n,n)，求l(A)的取值集合．
k1k2（Ⅰ）求y1y2的值；
（Ⅱ）记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2.证明：
为定值．
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北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末
（Ⅱ）解法一：因为 A?根据正弦定理得 所以 AC??高三数学（理科）参考答案及评分标准
2013.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．D； 2．B； 3．A； 4．C； 5．C； 6．B； 7．C； 8．B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．?1； 10．12．1654AC，B???5?12π3BC，
， ??????7分
sinBsinABC?sinBsinA6． ??????8分
因为 C???A?B?5?12， ??????9分
?4?66?42，
1125； 11．6；
所以 sinC?sin?sin(?)?， ??????11分
??2； 13．[?,1]，[,]； 14．①③．
262注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解法一：因为3sin2B?1?cos2B，
所以 23sinBcosB?2sinB． ??????3分 因为 0?B??， 所以 sinB?0， 从而 tanB?所以 B?π32所以 △ABC的面积S?解法二：因为 A?根据正弦定理得 所以 AC??12AC?BCsinC?π3?23．
??????13分
4AC，B???3BC，
， ??????7分
sinBsinABC?sinBsinA6． ??????8分
根据余弦定理得 AC2?AB2?BC2?2AB?BC?cosB， ??????9分 化简为 AB2?2AB?2?0，解得 AB?1?123?23， ??????5分
3． ??????11分 3． ??????6分
所以 △ABC的面积S?3sin2B?cos2B?1， ?6AB?BCsinB?．
??????13分
解法二： 依题意得 所以 2sin(2B?即 sin(2B??616．（本小题满分14分）
)?1， 12（Ⅰ）证明：连接BD与AC相交于点O，连结EO．
z)?． ??????3分
?6?2B??6?13?6因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点． 因为 E为棱PD中点．
PEDyOBC因为 0?B??， 所以 所以 2B?所以 B???5?6，
所以 PB//EO． ??????3分 因为 PB?平面EAC，EO?平面EAC，
xA6π． ??????5分
3． ??????6分
所以直线PB//平面EAC． ??????4分
（Ⅱ）证明：因为PA?平面PDC，所以PA?CD． ??????5分
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