（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣（ax2﹣1）=lnx﹣（m+a）x2+1，则y=g（x）必须有两个不同零点x1，x2； 通过讨论函数的单调性求出a的范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）当m=2时，函数f（x）=lnx﹣2x2，定义域为（0，+∞）， ∴列表： x f′（x） f（x） ，由f′（x）=0，得
，（x=﹣舍去） …
+ 递增 0 极大值 （，+∞） ﹣ 递减 ∴f（x）的递增区间为（0，），递减区间为（，+∞）．… （Ⅱ）假设存在实数x1，x2（0＜x1＜x2）， 使得当x∈[x1，x2]时，函数f（x）的值域由于a
﹣1＜a
﹣1（0＜x1＜x2），所以a＞0 …
，
∵当m＜0时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增， ∴f（x1）=a
﹣1，f（x2）=a
﹣1，
设g（x）=f（x）﹣（ax2﹣1）=lnx﹣（m+a）x2+1，
则y=g（x）必须有两个不同零点x1，x2； … ∵
当m+a≤0时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，没有两个不同零点，不成立； … 当m+a＞0即a＞﹣m时，由 x g′（x） g（x） （0，+ 递增 ） 0 极大值 ），递减区间为（=
… ﹣ 递减 ，+∞），
，列表：
g（x）的递增区间为（0，∴g（x）的最大值
要使y=g（x）有两个不同零点x1，x2， 则 g（x）的最大值解得：
…
，
又x→+∞或x→0时，g（x）→﹣∞
所以存在实数a，取值范围﹣m＜a＜﹣m． …
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[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E． （1）求BD长；
（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．
【考点】相似三角形的判定． 【分析】（1）证明△OBD∽△AOC，通过比例关系求出BD即可． （2）通过三角形的两角和，求解角即可． 【解答】解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB． ∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴∵OC=OD=6，AC=4，∴
，∴BD=9．…
，
（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．
∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO． ∴AD=AO …
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（4，0），B（2
，
），圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）求直线AB和圆C的直角坐标方程．
（Ⅱ）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值． 【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得圆的直角坐标方程，求得A，B的直角坐标，即可得到直线AB的方程；
（Ⅱ）求得AB的距离和圆C和半径，求得圆C到直线AB的距离，由圆C上的点到直线AB的最大距离为d+r，运用三角形的面积公式，即可得到所求最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ，可得：ρ2=2ρsinθ，所以x2+y2=2y， 圆的直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0（或x2+（y﹣1）2=1）， 在直角坐标系中， 可得直线AB的方程为：； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆心C（0，1），r=1，圆心到直线AB的距离
，
，
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所以圆C上的点到直线AB的最大距离为d+r=故△ABP面积的最大值为
[选修4-5：不等式选讲]
+1=．
，
24．已知f（x）=|x﹣|+|x﹣|，记f（x）≤2的解集为M． （Ⅰ）求集合M
（Ⅱ）若a∈M，试比较a2﹣a+1与的大小．
【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式；绝对值三角不等式． 【分析】（Ⅰ）求出f（x）的分段函数，通过讨论x的范围，解不等式，求出集合M即可；（Ⅱ）作差，通过讨论a的范围，判断大小即可．
【解答】解：（Ⅰ），
由f（x）＜2，得：
①当x＜时，2﹣2x＜2，解得②当
时，1＜2恒成立
，
③当x＞时，2x﹣2＜2，解得综上：0＜x＜2… 故M={x|0＜x＜2}；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知0＜a＜2， 因为a2﹣a+1﹣=
，
当0＜a＜1时，
＜0，所以为a2﹣a+1＜，
当a=1时，
=0，所以a2﹣a+1=，
当1＜a＜2时，＞0，所以，
综上所述：当0＜a＜1时，
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当a=1时，a2﹣a+1=， 当1＜a＜2时，
．
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2016年8月17日
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