2019年
【2019最新】精选高二数学暑假作业17平面向量的数量积
考点要求
1． 理解平面向量数量积的含义；
2． 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
3． 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关
系．
考点梳理
1． 设向量a，b的夹角为θ，则a和 b的数量积a·b＝__________，a和 b的
夹角θ满足
cosθ＝_________．
2． 设向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律∶
(1) a·b＝b·a；
(2) (λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；
(3) (a＋b)·c＝a·c＋b·c． 3． 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1) a·b＝____________； (2) |a|＝________________； (3) 若a⊥b，则____________．
考点精练
1． 已知向量a和向量b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，则b·(2a＋b)＝
__________．
2． 平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝
____________．
3．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝____________．
4． 已知向量a，b，满足|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则向量a＋b与向量a－b的夹角是____________．
5． 在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，D，E为BC边上的点，且·＝0，＝2，则·＝____________．
6．在△ABC中，设＝(2，3)，＝(1，k)，且△ABC是直角三角形，则k＝________． 7． 已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a－2b)，则|2a＋b|＝____________． 8． 已知i和j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj．若a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____________．
9．已知矩形ABCD的边AB＝4，AD＝2，E?F分别是BC和CD的中点，P是线段AC上一个动点，则·的最小值是____________．
10． 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时， (1) ka＋b与a－3b垂直；
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(2) ka＋b与a－3b平行，平行时它们是同向还是反向．
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11． 已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π． (1) 若|a－b|＝，求证∶a⊥b；
(2) 设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
12．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，AB＝3，P是AB上的一个动点，∠CPB＝α，∠DPA＝β．
(1) 当·最小时，求tan∠DPC的值； (2) 当∠DPC＝β时，求·的值．
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第17课时 平面向量的数量积
1． 0 2． 3． 4． 5． 1 6． －，或 7．
8． (－∞，－2)∪ 9． －4
5
10． 解：ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．
(1) (ka＋b)⊥(a－3b)，得
(ka＋b)·(a－3b)＝10(k－3)－4(2k＋2)＝2k－38＝0，k＝19． (2) (ka＋b)∥(a－3b)，得－4(k－3)＝10(2k＋2)，k＝－，
此时ka＋b＝＝－(10，－4)，所以方向相反．
11． (1) 证明： a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋
sinα·sinβ)＝2，
所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，即a·b＝0，所以，a⊥b．
(2) 解：?
?cosα＋cosβ＝0 ①，?
??sinα＋sinβ＝1 ②.
①2＋②2得：cos(α－β)＝－．
所以α－β＝π，α＝π＋β，
带入②得：sin＋sinβ＝cosβ＋sinβ＝sin＝1，
所以＋β＝．所以α＝，β＝．
12． 解：(1) 以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标
系．
C(3，2)，D(0，1)．则A(0，0)，B(3，0
3，令P(x，0)，0≤x≤ －x，2)，有＝(－x，1)，＝(3 ＝－，∴ ·＝x2－3x＋2
当x＝时，·最小，此时P．
在△CPB中，tanα＝＝；在△DPA中，tanβ＝＝．
∴ tan∠DPC＝－tan(α＋β)＝＝＝－18．
(2) 由(1)知，P(x，0)，·＝x2－3x＋2，tanα＝，tanβ＝．
∵ ∠DPC＝β，∴ α＝π－2β，tanα＝－tan2β，∴ ＝－，解得x＝．
此时·＝－1＋2＝．
