则
的长度为=．
7．（2018?湘潭）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM． （1）若半圆的半径为10． ①当∠AOM=60°时，求DM的长； ②当AM=12时，求DM的长．
上
（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（1）①当∠AOM=60°时， ∵OM=OA，
∴△AMO是等边三角形， ∴∠A=∠MOA=60°， ∴∠MOD=30°，∠D=30°， ∴DM=OM=10
②过点M作MF⊥OA于点F， 设AF=x， ∴OF=10﹣x，
∵AM=12，OA=OM=10，
由勾股定理可知：122﹣x2=102﹣（10﹣x）2 ∴x=∴AF=
， ，
∵MF∥OD， ∴△AMF∽△ADO，
∴∴∴AD=
， ，
∴MD=AD﹣AM=（2）当点M位于连接BC， ∵C是
的中点，
之间时，
∴∠B=45°，
∵四边形AMCB是圆内接四边形， 此时∠CMD=∠B=45°， 当点M位于连接BC，
由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45° 综上所述，∠CMD=45°
之间时，
8．AC=BC=4cm，（2018?衡阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以
cm/s的速度沿AB匀速运动，当点
P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？
（2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．
解：（1）如图1中，连接BP．
在Rt△ACB中，∵AC=BC=4，∠C=90°， ∴AB=4
∵点B在线段PQ的垂直平分线上， ∴BP=BQ， ∵AQ=∴BQ=4∴（4
t，CP=t， ﹣﹣
t，PB2=42+t2， t）2=16+t2， 或8+4
（舍弃），
解得t=8﹣4∴t=（8﹣4
）s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．
（2）①如图2中，当PQ=QA时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP=90°．
则有PA=∴4﹣t=
?
AQ， t，
解得t=．
②如图3中，当AP=PQ时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°．
则有：AQ=∴
t=
AP，
（4﹣t），
解得t=2，
综上所述：t=s或2s时，△APQ是以PQ为腰的等腰三角形．
（3）如图4中，连接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F．则QE=AE，QF=EC，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．
∵S=S△QNC+S△PCQ=?CN?QF+?PC?QE=t（QE+QF）=2t（0＜t＜4）．
9．（2018?邵阳）如图1所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE． （1）证明：四边形OEFG是平行四边形；
（2）将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图2所示，连接GM，EN． ①若OE=
，OG=1，求
的值；
②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）
