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2－n111
＝1－21＋22＋…＋n－1－2n 21112－2n－1·22－nn＝1－1－2n＝2n，
1－2n
所以Sn＝n－1.
2
x2y2
21.如图，已知F1、F2为双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°.求：
(1)双曲线的离心率； (2)双曲线的渐近线方程．
解：(1)∵∠PF2F1＝90°，∠PF1F2＝30°. 在Rt△PF2F1中，|PF1|＝123c
|PF2|＝2|PF1|＝3，
23c
又|PF1|－|PF2|＝2a，即3c＝2a，a＝3，
|F1F2|2c43c
＝＝，
cos∠PF1F2cos30°3
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c
∴e＝a＝3.
(2)对于双曲线，有c2＝a2＋b2，∴b＝c2－a2. c2－a2b
∴a＝a＝
?c?2
?a?－1＝3－1＝2. ??
∴双曲线的渐近线方程为y＝±2x.
22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为
π??
??2，极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为4?，直线l的极坐标?π??
方程为ρcos?θ－4?＝a，且点A在直线l上．
?
?
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
??x＝1＋cos α，
(2)圆C的参数方程为?(α为参数)，试判断直线l
?y＝sin α?
与圆C的位置关系．
π?π???
解：(1)由点A?2，4?在直线ρcos ?θ－4?＝a上，可得a＝2.
????所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1， 所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1， 因为圆心C到直线l的距离d＝交．
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12
＝2<1，所以直线l与圆C相2
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22．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别
为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率． (2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．
解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，
322
C162C5＋C2C5
则P(A)＝＝7. C47
6
所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为7. (2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
33C31C44
P(X＝1)＝C4＝35，P(X＝2)＝C4＝35，
773C52C346P(X＝3)＝C4＝7，P(X＝4)＝C4＝7. 77
所以随机变量X的分布列是
X P
1 135 2 435 3 27 4 47
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