级数
一、数项级数
1. 级数?un收敛的定义为： (1). 用定义判别?lnn?1???n?1an?0, 则级数?an收敛. 的敛散性. (2) 证明: 若?(a2n?1?a2n)收敛, 且limn??n?1n?1n2. 级数?un收敛的柯西准则为：
(1) 用柯西收敛准则证明：若?un，?vn收敛，则级数?(aun?bvn)收敛，其中a,b为常数. 3. 级数?un收敛的必要条件为： 如：判别?(?1)nn?1?n?1的敛散性 2n?14. 收敛级数的性质（简述）如：?(n?1?cosna1?)级数部分和数列有界是级数收敛的____条件, 部分和数n3n列有界是正项级数收敛的_________条件.
如证明：若{an}单调减少，an?1(n?N?),且an?1,n??，则级数?(an/an?1?1)收敛.6. 重要比较
_收敛,??当q____时标准： ?aq?;
n?0当q____时_发散,???n7. 叙述正项级数比较法及其极限形式、比式法与根式法的极限形式、积分判别法，并判别敛散性：
n?????6n!n?5112n?(?1)nn2?1(1)? (2) (3) (4) (5) (6) (1?cos)ln?????pnn?1n?2n(lnn)n?1n?1n?2n?1n3nn2?1nn(n2?2)?8. 绝对收敛与条件收敛的定义为： 条件收敛的级数本身一定_____.
(1)若?un绝对收敛，则?un必定 ；若?un条件收敛，则?|un|必定 (2)证明：若?un2与?vn2都收敛，则?unvn收敛.
(3)设?an绝对收敛，证明：?an(a1?a2??an)也绝对收敛.
9. 叙述交错级数的莱布尼茨判别法；叙述狄利克雷判别法及阿贝尔判别法；简述绝对收敛级数的性质. 判别下列级数判断下列级数的收敛性，并指出是绝对收敛还是条件收敛：
????cosnxn11?5 (4)?(1)?(?1)ntan (2)?p(p?0,0?x??) (3)?(?1)nn?1n?1n?1n?2n?1nnnnsin2n?5 n11?(5) ?(-1)?其中un?0 (n?1,2,3,???，n?1uun?1??n?n?12??1nn1 nn?1且lim)，?1 (6)?(?1)p?1 (7) (?1)[n?]n??n?1unn3nn?1n?二、函数列及其一致收敛性 1. 极限函数、收敛域
2. { fn(x) }在数集D一致收敛于f(x)的定义; 叙述函数列一致收敛的柯西准则及确界极限法(13.1, 13.2）.
n2x2xgn(x)=_______ (1)fn(x)?, ，x?( ?? , ?? ). limfn(x)? ；limg(x)?nn??n??1?n2|x|1?n2x2(2)判别一致收敛性 1)fn(x)?cosnx2x?n?在0,aa?0; 在0,?? 在R 2) ?????????n?x?n? 3) fn(x)?nx(1?x)n ,x?[0,1] 3. 一致收敛函数列的性质
(1)若{ fn(x) }的每个函数都在I?[ a , b ]连续,且fn(x)?f(x) ( n?? ), 则 ( )
A、当f(x)在I上间断时,{ fn(x) }在I上不一致收敛; B、当f(x)在I上连续时,{ fn(x) }在I上一致收敛; C、当{ fn(x) }在I上不一致收敛时, f(x)在I上间断; D、f(x)在I上有界.
(2)证明：若?fn(x)?在R一致收敛于f(x), 且?n?N?, fn(x)在R一致连续，则f(x)在R也一致连续.
1
三、函数项级数 1. 收敛域、和函数的定义为
2. 函数项级数的一致收敛与不一致收敛及其判别(P33-37）
(1) 叙述函数项级数?un(x)在数集D一致收敛的定义叙述函数项级数一致收敛的柯西准则 (3) 叙述函数项级数一致收敛的必要条件
(4) 叙述M判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法，并判别一致收敛性：
n?x???1nx?nn?a,aa?0 1).? 在R 2).在 3). 在R 4).在R (?1)2(sin)arctannx???????7222n?1n!n?1n?11?nxn?13nn?x3. 叙述和函数的连续性、可积性、可微性定理
(1) 证明：函数f(x)???sinnxf(x),f?(x). 在(??,??)上连续可导，并求limx??n?1n3?ln6(2) 证明：函数S?x???ne?nx在(0,??)上内闭一致收敛、可积；并计算?ln5S(x)dx.
n?1(3) 证明：函数S(x)??rncosnx(0?r?1)在[0,2?]可积，并求其积分.
n?1?2n?1?n2?1nn24. 总结求和函数方法并求和函数：（1）?x （2）?(?1)x2n (3)
n?1n?0n2n?1?xn?3
?n?0n!(n?2)?四、幂级数
1.叙述阿贝尔定理：
(1)已知?an(x?3)n在x?4处发散，则其在x?0处（ ）(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (2)设幂级数?anxn在点x??3处收敛 , 则( )
(A)在点 x =3处绝对收敛 (B)在点x =2处绝对收敛 (C)在点x =3处收敛 (D)在点x =4处发散. 2.求收敛半径：?anxn(an?0)、 ?a2nx2n、 ?a2n?1x2n?1、?an[f(x)]n型(皆可看做?un(x),对|un(x)|用比式或根式法)
n?1n?1n?1n?1????(1)已知?anxn(an?0)在x??2处条件收敛，则收敛半径为________.
n?1?5?(n?1)n?2xn(2) 求收敛域： 1) ?n?； 2) ?(x?2)2n nn?13?(?2)n?02n?1n?3.幂级数的性质（P51-52包括和函数的连续性、可积性与可导性（积分及求导前后的幂级数收敛半径相同））
4. 函数展开为幂级数 1） f(x)的泰勒级数为 __________________;麦克劳林级数为________________. 2） 基本展开式 ex sinx cosx 3） 用间接法展开成麦克劳林级数
11?x (1?x)? ln(? 1x )五、 函数展开为傅立叶级数
1.三角函数系的正交性；傅立叶系数an?__;bn?__;傅立叶级数___; 2.叙述收敛定理及黎曼-勒贝格定理. 3. T?2?的奇函数展开成傅立叶级数时，an?____;奇函数换为偶函数时，傅立叶系数______=0. 练习 1、将下列函数在指定的区间展开成傅立叶级数
?11?x???x?01(1)f(x)?? （a是常数）（2）f(x)?x,??x?，并求?的和 2n?1(2n?1)22a0?x????1cosnxx2?x?22、证明：当０?x??时，?2???,并求?2的和.
n?1n?1nn426?1xsintx cos2x 5x ?0dt 22(1?2x)t2?x?x3、设f(x)在[??,?]可积，证明:若?x?[??,?], 有f(x??)?f(x), 则f(x)的傅立叶系数a2k?1?b2k?1?0. 4、P89 第2题证明帕塞瓦尔等式.
判断与填空：
2
1. f(x)在[a,b]上可积, 但不一定存在原函数( ) 2.?1/xdx??ln|x|?1?0( ) ?1?113.设?f(x)dx?F(x)?c, ?g(x)dx?G(x)?c. 则当F(x)?G(x)时,有f(x)?g(x) ( ) 4.任意可积函数都有界,但反之不真( ) 5.若liman?0,则?an必发散 ( ) n??6.f(x)的傅里叶级数不一定收敛于f(x) ( ) 7.若?un(x)一致收敛, 则limun(x)?0 ( )
n??8.若?an收敛, 则?an2亦收敛( ) 9.若?un(x)在I上一致收敛,则它在I上绝对收敛 ( )
10.[a,b]上有界函数f(x)可积????0,有对[a,b]的一个分法T0，使S(T0)?s(T0)?? ( ) 11.任一幂级数在它的收敛区间内是绝对收敛的 ( ) 12.幂级数的收敛区间就是它的收敛域 ( )
13.任一幂级数在它的收敛区间内总可逐项求导( ) 14．若?|un|收敛，则一定有?un收敛 ( ) 15.若?x?(?r,r),f(x)各阶导数皆存在，则f(x)在(?r,r)上可展成x的幂级数 ( ) 16.函数列?fn?x??在I上一致收敛是指：对???0和?x?I,?N,当m?n?N时,有fn(x)?fm(x)?? ( ) 17.若函数项级数?un(x)在I上一致收敛，则?|un(x)|在I上也一致收敛 ( ) 18.设以2 ?为周期的函数f在区间[ ?? , ? ]上按段光滑, 则在每一点x?[ ?? , ? ],f的Fourier级数收敛于
f在点x的左、右极限的算术平均值( )
19.若f(x)是以2?为周期的连续的奇函数，则傅立叶系数an?0,bn?20.若?1???0f(x)sinnxdx ( )
1收敛 , 则必有??0 ( ) 21.设un?0且un?0 , ( n?? ). 则?( ?1 )n?1un必收敛 ( ) 1??n21.设I上{fn(x)}收敛于f.若存在数列{ xn }?I, 使|fn(xn)?f(xn)|??0,则{fn(x)}在I上不一致收敛 ( ) 14?(?1)222. f(x)?x在[-1,1]上的傅立叶级数?2?2cosn?x的和函数是s(x),则s(1)?__,s(2)?__.
3?n?1n223.若?N?N?,?n?N,有nun?1，则?un发散( ) 24.若?vn敛，un?vn(n?1,2,), 则?un收敛( )
25.若f(x)在[a,b]只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]必可积( )
1sinx1143426.设M??cosxdx,N??(sinx?cosx)dx,P??(sinx?cos4x)dx,则P un?1u?1, 则?un收敛( ) 29.设un?0,对? n,有n?1?1, 则?un发散( ) unun30.设级数?anxn在(?R,R)上的和函数为f(x)，若f(x)为奇函数，则此级数仅出现奇次幂的项 ( ) 31.若?an和?bn收敛，则?anbn也收敛( ) 32.若?an和?bn发散，则?(an?bn)也发散( ) 33.若?an收敛和?bn发散，则?(an?bn)发散( ) 34.?an收敛和?bn发散，?anbn发散( ) 35.广义积分?1 3 ??f(x)dx收敛,则limf(x)?0 ( ) x???
