§5.6 向心加速度
【学习目标】
1．理解速度变化量和向心加速度的概念，
2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式． 3．能够运用向心加速度公式求解有关问题． 【学习重点】
理解匀速圆周运动中加速度的产生原因，掌握向心加速度的确定方法和计算公式． 【学习难点】
向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的推导与应用。 【学习过程】
1．加速度是表示 的物理量，它等于 的比值。在直线运动中，v0表示初速度，v表示末速度，则速度变化量Δv= 。加速度公式a= ，其方向与速度变化量方向 。
2．在直线运动中，取初速度v0方向为正方向，如果速度增大，末速v大于初速度v0，则Δv=v－v0 0（填“>”或“<”），其方向与初速度方向 ；如果速度减小，Δv=v－v0 0，其方向与初速度方向 。
3．在曲线运动中，速度变化量Δv与始末两个速度v0、v的关系：_____________________________。
4．在圆周运动中，线速度、角速度的关系是 。 【同步导学】
1．研究匀速圆周运动向心加速度的方法 2．曲线运动速度增量Δv=v2-v1的求法 3．向心加速度
⑴ 定义：做匀速圆周运动的物体，加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度。 ⑵ 方向：总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻在改变，不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速度的运动。
⑶ 几种表达式：
v2an= 、an=rω2 an=vω
r由向心加速度的表达式和匀速圆周运动的特点可知：匀速圆周运动是一个加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动。
例1 一质点沿着半径r = 1 m的圆周以n = 1 r/s的转速匀速转动，如图，试求：
(1) 从A点开始计时，经过1s的时间质点速度的变化；
4（例1）
O r A 专心 爱心 用心
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(2) 质点的向心加速度的大小。
例2 一小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为R，向心加速度为a，则（ ）
A．小球相对于圆心的位移不变 B．小球的线速度为Ra C．小球在时间t内通过的路程s=a/Rt D．小球做圆周运动的周期T=2π⑷ 物理意义：
因为向心加速度方向始终指向圆心，与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，不改变其大小，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量。 例3 关于向心加速度，下列说法正确的是（ ）
A．它是描述角速度变化快慢的物理量 B．它是描述线速度大小变化快慢的物理量 C．它是描述线速度方向变化快慢的物理量 D．它是描述角速度方向变化快慢的物理量 4．匀速圆周运动的向心加速度的大小与线速度、角速度、圆周半径的关系。
R/a
v2122
(1) 由an=知：r一定时，an∝v；v一定时，an∝；an一定时，v∝r；
rr(2) 由an=rω知：r一定时，an∝ω；ω一定时，an∝r，an一定时，??2
2
21。 r例4 如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω旋转，A、B为球体上两点。下列说法中正确的是（ ）
A．A、B两点具有相同的角速度 B．A、B两点具有相同的线速度 C．A、B两点具有相同的向心加速度 D．A、B两点的向心加速度方向都指向球心
例5 如图所示，O、O1为两个皮带轮，O轮的半径为r，O1轮的半径为
（例4）
R，且R>r，M点为O轮边缘上的一点，N点为O1轮上的任意一点，当皮带轮转动时（设转动过
程中不打滑），则（ ）
A．M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度 B．M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度 C．M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度 D．M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度
【巩固练习】
（例5）
专心 爱心 用心
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1．由于地球的自转，地球表面上各点均做匀速圆周运动，所以（ ）
A．地球表面各处具有相同大小的线速度 B．地球表面各处具有相同大小的角速度 C．地球表面各处具有相同大小的向心加速度 D．地球表面各处的向心加速度方向都指向地球球心 2．下列关于向心加速度的说法中，正确的是（ ）
A．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直 B．向心加速度的方向保持不变 C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
3．由于地球自转，比较位于赤道上的物体1与位于北纬60°的物体2，则（ ）
A．它们的角速度之比ω1∶ω2=2∶1 B．它们的线速度之比v1∶v2=2∶1 C．它们的向心加速度之比a1∶a2=2∶1 D．它们的向心加速度之比a1∶a2=4∶1 4．关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是（ ）
A．由a=v/r，知a与r成反比 B．由a=ωr，知a与r成正比 C．由ω=v/r，知ω与r成反比 D．由ω=2πn，知ω与转速n成正比
5．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30r/min，B的转速为15r/min。则两球的向心加速度之比为（ ）
A．1：1 B．2：1 C．4：1 D．8：1
6．如图所示皮带传动轮，大轮直径是小轮直径的3倍，A是大轮边缘上一点，B是小轮边缘上一点，C是大轮上一点，C到圆心O1的距离等于小轮半径，转动时皮带不打滑。则A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC= ，向心加速度大小之比aA∶aB∶aC= 。
7．如图所示，定滑轮的半径r=2 cm，绕在滑轮上的
2
2
2
（第6题）
细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a=2 m/s做匀加速运动。在重物由静止下落1 m的瞬间，滑轮边缘上的P点的角速度ω=_____ rad/s，向心加速度a=_____ m/s。
· P
（第7题）
（第8题）
2
8．如图所示，摩擦轮A和B通过中介轮C进行传动，A为主动轮，A的半径为20 cm，B的半径为10 cm，则A、B两轮边缘上的点，角速度之比为_____；向心加速度之比为_____。
【当堂检测】
1．做匀速圆周运动的物体，下列哪个物理量是不变的( )
专心 爱心 用心
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A．线速度 B．加速度 C．角速度 D．相同时间内的位移 2．匀速圆周运动特点是( )
A．速度不变，加速度不变 B． 速度变化，加速度不变
C．速度不变，加速度变化 D．速度和加速度的大小不变，方向时刻在变 3．关于向心加速度，下列说法正确的是（ ）
A．向心加速度是描述速率变化快慢的物理量 B．匀速圆周运动中的向心加速度恒定不变 C．向心加速度是描述物体运动方向变化快慢的物理量 D．向心加速度随轨道半径的增大而减小
4．关于地球上的物体随地球自转的向心加速度的大小，下列说法正确的是( )
A．在赤道上向心加速度最大 B．在两极向心加速度最大
C．在地球上各处向心加速度一样大 D．随着纬度的升高向心加速度的值逐渐减小 5．关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（ ）
A．它们的方向都沿半径指向地心 B．它们的方向都在平行赤道的平面内指向地轴 C．北京的向心加速度比广州的向心加速度大 D．北京的向心加速度比广州的向心加速度小
6．如图所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴，A、B、C分别是三个轮边缘上的质点，且rA=rC=2rB，则三个质点的向心加速度之比aA：aB：aC等于( )
A．4:2:1 C．1:2:4
B．2:1:2 D．4:1:4
（第6题）
7．一物体在水平面内沿半径 R=20 cm的圆形轨道做匀速圆周运动，线速度v=0.2m/s，那么，它的向心加速度为______m/s，它的角速度为_______ rad/s，它的周期为______s。
8．物体以30m/s的速率沿半径为60 m的圆形轨道运动，当物体从A运动到B时，物体相对圆心转过的角度为90，在这一过程中，试求： (1) 物体位移的大小； (2) 物体通过的路程；
(3) 物体运动的向心加速度的大小．
9．如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴
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0
2
专心 爱心 用心
（第9题）
