31.求定积分
?31x(1?x)1dx. 解: 原式x?t2?2arctant?13??6
?32.求定积分?20sin3xcosxdx14?12. 解: 原式?sinx?
4041dx??32?x33.求定积分. 解: 原式?-ln2?x1??1?ln5
34.求定积分?22x2?11x2(x2?1)dx 2dx35.求定积分
?e1x1?lnx. 236.求定积分
?0xex2dx. ?237.求定积分?0sinxdx. 38.求定积分?1(1?x)(2?3x)dx. 021?t239.求定积分?0tedt. 12x240.求定积分?01?x2dx. 41.求定积分??0xsinxdx. eln2x42.求定积分
?1xdx. ?243.求定积分?03sinxcosxdx. 2?44.求定积分??0tsin?tdt??为常数?3?45.求定积分?20cosxdx.
?3?2解: 原式???arctanx?1?x???arctan2?1?? 124解: 原式??21?lnx?e21?2(3?1)
2解: 原式???1?2ex2????12(e4?1)
0?解: 原式??cosx20?1
解: 原式???5123?11?2x?2x?x???02
?1?t2解: 原式???e2?????1?e?12 ??0解: 原式??2(x?arctanx)?1?0?2?2
解: 原式???xcosx?sinx??0??
解: 原式?13e13lnx1?3
: 原式?3?解2232sinx0?2
2?解: 原式?????1?tcos?t?1??2??2sin?t????0?2解: 原式??sinx??3?02??sinx?2?2?3
13
46.求定积分??22x2?1dx13??13???13?. 解：原式??x?x??2?x?x???x?x??4
3??1?3?3??2??1. 解：原式??arctanx?1?33?11247.求定积分
?11dx21?x33?6
248.求定积分
?16 14dx. 解：原式x?t44?1t2?t?ln(1?t)??2?ln3
?2?2??1x?x
五.应用题
1.已知生产某产品x（百台）时,总收入R的变化率R??8?x (万元/百台)，求产量从从1(百台)增加到3(百台)时,总收入的增加量. 解：由已知R??8?x得总收入的增加量为：R???2?31R?dx??311??(8?x)dx??8x?x2??12
2?1?32.试描画出定积分解：S???cosxdx所表示的图形面积,并计算其面积.
????2cosxdx???sinx???1. (图形略)
2?3.试描画出定积分??sinxdx所表示的面积图形,并计算其面积.
2解：S????2sinxdx???cosx???1. (图形略)
?23y?x4.计算曲线,直线x??2,x?3及x轴所围成的曲边梯形面积.
解:S???0?2xdx??33097?1??1?xdx???x4???x4??.(图形略)
4?4??2?4?030325.计算抛物线y?4?x与x轴所围成的图形面积. 2y?4?x解: 与x轴的交点为(-2,0),(2,0)
13?32? S??(4?x)dx?2?4x?x??
?23?03?2226.已知生产某产品x（百台）时,总成本C的变化率为C??2?x（万元/百台）,求产量从1(百
台)增加到3(百台)时总成本的增加量. 解:C??311??(2?x)dx??2x?x2??8.
2?1?3 14
?0,2?y?2sinx?上的平均值. 7.计算函数在??????解:y?202sinxdx?2?2?????2cosx?022????4?
8.计算函数y?2cosx在?0,??上的平均值.
??解:y?
202cosxdx?2?2??2sinx?02??4?
第七章 定积分的应用
一.单选题
1.变力使f(x)物体由[a,b]内的任一闭区间[x,x?dx]的左端点x 到右端点x?dx所做功的近似值为( C ).
A.?df(x) B.f(dx) C.f(x)dx D.?f(x)dx
2.一物体受连续的变力F(x)作用, 沿力的方向作直线运动,则物体从x?a运动到x?b, 变力所做的功为( A ). A.
?aF(x)dx B.?bF(x)dx C.??bF(x)dx D.??aF(x)dx
bbaa2y?x3.将曲线与x轴和直线x?2所围成的平面图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积可表
示为
Vy?20（ C ）.
4 A.
??xdx B.
??ydy04 C.
???4?y?dy04 D.
???4?y?dy04
二.判断题 1.定积分?abf(x)dx反映在几何意义上是一块[a,b]上的面积. （ ╳ ）
2.已知边际利润求总利润函数可用定积分方法. （ √ ）
三.填空题
1.计算曲线y?sinx与曲线
?x??2及y?0所围成的平面图形的面积可用定积分表示为
A?
?20sindx.
15
3y?x2.抛物线与x轴和直线x?2围成的图形面积为
?20x3dx.
2y?x3.由曲线与直线x?1及x轴所围成的平面图形,绕x轴旋转所的旋转体的体积可用定
积分表示为Vx?
四.计算题
??x4dx01.
3y?x1.求抛物线与x轴和直线x?3围成的图形面积.
2y?4ax及直线x?b(b?0)所围成的图形绕x轴旋转,计算所得旋转体的体积. 2.把抛物线
3.一边长为am的正方形薄板垂直放入水中,使该薄板的上边距水面1m,试求该薄板的一侧所
332受的水的压力（水的密度为10kg/m, g取10m/s）.
4.计算抛物线y?x与直线x??1,x?3和x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所得到的旋转体体积.
225.由y?x和y?x所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体体积.
26.求由曲线
y?1x与直线y?x及x?2所围成的图形的面积.
27.用定积分求由y?x?1,y?0,x?1,x?0所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
228.求曲线y?x,y?(x?2)与x轴围成的平面图形的面积.
高为h的圆锥体的体积9.用定积分求底圆半径为r，.
3y?x10.计算曲线和y?x所围成的图形面积.
211.计算抛物线y?4?x与x轴所围成的图形面积.
2y?x12.求曲线与y?x所围成的图形的面积。
五.应用题
1.已知某产品总产量的变化率是时间的函数,f(t)?2t?1,t?0,求第一个五年和第二个五年的总产量分别是多少？ 解：第一个五年的总产量： 第一个五年的总产量：
?(2t?1)dt?30，
05?105(2t?1)dt?80.
2y?x2.计算抛物线与直线x??2,x?4和x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所得到的旋转
16
