图1 在同一平面的光线反射
22x?z?60y在图1中，抛物面的方程为
?(?36?x?36,0?y?21.6)，其参数方程为????????2(?cos?,,?sin?)???为参数）S点坐标(x,15,0)，F点坐标60（其中?2(?cos?,,?sin?)(0,15,0)，B点坐标???????????????，P点坐标60。 经过简单推理易得，从光源S发出的光线在抛物面上特定的某些点上反射后到达B点，且每个反射点上反射的光线有且只有一条；而由假设1,4,6可得，到达B点的光线条数的多少就决定了该点的光照强度的大小，由题设可知，光源为线光源，所以B点的光照强度是线光源长度
x的函数。
由题目给出的设计规范，B（C）点的光照强度大于等于某个额定值
2Eo(Eo)，通过这个约束条件，我们就可以解出满足功率最小值
条件的线光源长度2d。
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我们根据反射点P是否在xoy平面上将问题分成两种情况分别讨论，下面本文将就这两种情况分别进行讨论并求解。
4.2 反射光的亮区
要求反射光在光屏上的亮区，其实就是求光源上每个点光源在光屏上产生的亮点的集合，那么我们可以先求某一点光源在光屏上产生的亮点，再求所有点的产生的亮点的集合；
要解决这个问题，实际上就是求空间直线与平面的交点，由光的反射定律，通过抛物面上反射点处的切平面的法向量我们即可求得反射光线所在直线的方程，将之与光屏所在平面方程联立可解得亮点坐标，借助计算机可画出反射光的亮区。
4、 模型建立与求解
5.1线光源长度的求解 5.1.1 反射点个数求解
????xoyPNB在平面上，S引出一条直线经抛物线上的点P到点 B，
????为P点切平面的法向量，则PN必然经过BS与y轴的交点。
（1）反射点在
首先引入一个定理，如图1所示，S为
???上任意一点，点ffxoy平面上
2P(a,b,0)a?60b，即?sin??0即，可设，且
a2P(a,,0)60。
????????PN与PY重合，Y(0,y,0)，由上文引出的定理可知，
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而BS与Y轴交于Y点，B点坐标(13000,25015,0)，S点
?32500000(x,15,0)，解得y??25015，则坐标
13000?x????????a2?32500000PN?PY?(a,??25015,0)，
6013000x?????????????????PS?PNPB?PN?????????????????由光的反射定理知，PS?PNPB?PN, ?????2PB?(1300??cos?,25015?,0)其中
60?????2PS?(x??cos?,15?,0)，解得：
60
，
(a?1300)(900?a)x?1350810000?460000a?1498200a2?a422
通过Matlab可画出该函数的图象，如图2：
图 2 反射点的个数图象
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x??0.78，反射点个数jx=2；
当?0.78?x?8.04，jx=0；当8.04?x?15.31，jx=1；
当15.31?由图2易得，当?30?x?30，jx=2；
(2)反射点不在
xoy平面上
?2????????(?cos?,,?sin?)60此时P点坐标，而PN与PY重合，可得： 即：
????????kPN=PY，
?2(?cos?,?y,?sin?)?k(?cos?,?30,?sin?)
60解得：
1170000?1300?2x??2?1499100又，
；（1）
????????????????cos(PN,PS)?cos(PN,PB)，即
????????????????PS?PNPB?PN?????????????????PS?PNPB?PN
解得：
900??cos??2600?2；（2）
联立（1）（2）可将P点坐标用x表示，即
7500xxp?13x?16900
19500?24985xyp?
x?1300
1.95?1095.625?106x2zp??1499100??1300?x169(1300?x)27 / 17
