高等数学B期中测验题答案
班级 学号 姓名 成绩
一. 填空题（每空4分）
1． 设f(x?y,x?y)?x2?y2，则f(x,y)=xy.
?4x2?9y2?362. 曲线?绕y轴旋转所得旋转曲面方程为 4(x2?z2)?9y2?36。
?z?0??????3. 设a?(2,1,?1)，b?(1,?1,1)，则a?b? 0 ，a?b? (0,-3,-3) 。
4. 设z?xy(x?0)，则
?z?z?yxy?1，?xylnx。 ?x?y1221,) 225．向量a?(?1,?2,1)的方向余弦为 (?,?6．过点(1,0,?2)及直线
x?3y?1z?2??的平面方程为 8x?20y?13z?18?0 1347．设y1,y2,y3是微分方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的三个不同的解，且方程的通解为y?c1(y1?y2)?c2(y2?y3)?y1.
8. 曲面z?x2?y2与平面x?z?1?0的交线平行于z轴的投影柱面 为x2?x?y2?1。
9. 方程xy???y??0经变量代换 y??p 可化为
分离变量的方程是 xp??p?0 。 10. 微分方程满足条件
y1?y2?常数，则微分
y2?y3y???4y??4y?0的通解Y? C1e?2x?C2xe?2x，
y(0)?2,y?(0)??4的特解y? 2e?2x。
2x11. 微分方程y???4y?e2x?2x?1的特解形式可设为y*(x)?Axe?Bx?C。
1?1?xy12. 极限lim?
(x,y)?(0,0)xy
?12
二. (10分) 求平行于平面x?2y?3z?4?0且与球面x2?y2?z2?14
相切的平面方程。
解：设切点为(x0,y0,z0), 则所求切平面的法向量为(2x0,2y0,2z0)， 3分 因为切平面平行于平面x?2y?3z?4?0，所以有
2x02y02z0??， 3分 123222又因为 x0?y0?z0?14， 2分， 所以 x0??1，y0??2，z0??3，
切平面为 (x?1)?2(y?2)?3(z?3)?0 2分 三．（10分）设可导函数f(x)满足f(x)cosx?2?xf(t)sintdt?x?1，求f(x).
0解：方程f(x)cosx?2?x0f(t)sintdt?x?1两边对x求导得
f?(x)cosx?f(x)sinx?1 3分 即
f?(x)?tanx?f(x)?1cosx 求解上面的一阶线性微分方程得
f(x)?e??tanxdx[?1?tanxdxcosxedx?C]?sinx?Ccosx 5由于f(0)?1，所以C?1，故f(x)?sinx?cosx 2分
四． 设z?f(x2y,x?y2)，求?z?2z?x 和 ?x?y (10分)
解：
?z?x?2xyf1??f2? 5分 ?2z?x?y?2xf1??2xy(x2f11???2yf12??)?x2f21???2yf22?? 5分 五．(10分) 求函数z?x2?y2?3在条件x?y?1?0下的极值。
解：作函数L(x,y)?x2?y2?3??(x?y?1) 3分
??Lx?1x?2x????2由??02y???0??L 3分 ???y??1y? 2分
??x?y?1?0?2???1??z?5极值?2 2分
分
