.
于是就有
pn(x)? f(x0)? f ?(x0) (x?x0)?1f??(x0)(x?x0) 2 ?? ? ? ?1f(n)(x0)(x?x0) n ?
n!2! 泰勒中值定理 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a? b)内具有直到(n?1)的阶导数? 则当x 在(a? b)内时? f(x)可以表示为(x?x0 )的一个n次多项式与一个余项R n(x)之和? f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?其中Rn(x)?这里
多项式
pn(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?1f??(x)(x?x)2? ? ? ? ?1f(n)(x)(x?x)n?R(x)
0000n2!n!f(n?1)(?)(x?x0)n?1(??介于x0与x之间)?
(n?1)!1f??(x)(x?x)2? ? ? ? ?1f(n)(x)(x?x)n?
00002!n!称为函数f(x)按(x?x0 )的幂展开的n 次近似多项式? 公式
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?1f??(x0)(x?x0)2?? ? ??1f(n)(x0)(x?x0)n?Rn(x)?
n!2!称为f(x)按(x?x0 )的幂展开的n 阶泰勒公式? 而R n(x)的表达式 其中Rn(x)?f(n?1)(?)(x?x0)n?1(?介于x与x0之间)? (n?1)!称为拉格朗日型余项?
当n?0时? 泰勒公式变成拉格朗日中值公式? f(x)?f(x0 )?f ?(?)(x?x0 ) (?在x0 与x 之间)? 因此? 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广?
如果对于某个固定的n? 当x在区间(a? b)内变动时? |f (n?1)(x)|总不超过一个常数M? 则有估计式?
|Rn(x)| ? |及 limf(n?1)(?)(x?x0)n?1| ? M|x?x0|n?1?
(n?1)!(n?1)!Rn(x)?0?
x?x0(x?x0)n可见? 妆x ?x0时? 误差|R n(x)|是比(x?x0 )n高阶的无穷小? 即 R n (x)?o[(x?x0 ) n]?
在不需要余项的精确表达式时? n 阶泰勒公式也可写成
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?1f??(x0)(x?x0)2?? ? ??1f(n)(x0)(x?x0)n?o[(x?x0)n]?
2!n!当x0 ?0时的泰勒公式称为麦克劳林公式? 就是
.
.
f(x)?f(0)?f?(0)x?或 f(x)?f(0)?f?(0)x?其中Rn(x)?f??(0)2f(n)(0)nx? ? ? ? ?x?Rn(x)? 2!n!f??(0)2f(n)(0)nx? ? ? ? ?x?o(xn)? 2!n!f(n?1)(?)n?1x?
(n?1)!f??(0)2f(n)(0)nx? ? ? ? ?x? 2!n!由此得近似公式?
f(x)?f(0)?f?(0)x?误差估计式变为?
|Rn(x)|?M|x|n?1?
(n?1)! 例1．写出函数f(x)?e x 的n 阶麦克劳林公式? 解? 因为 f(x)?f ?(x)?f ??(x)? ? ? ? ?f ( n)(x)?e x ? 所以 f(0)?f ?(0)?f ??(0)? ? ? ? ?f ( n)(0)?1 ?
?x于是 ex?1?x?1x2? ? ? ? ?1xn?exn?1(0
2!n!(n?1)!11并有 ex?1?x?x2? ? ? ? ?xn?
2!n!这时所产性的误差为
?x|x| |R n(x)|?|ex n?1| (n?1)!(n?1)! 当x?1时? 可得e的近似式? ex?1?1?1? ? ? ? ?1? 2!n!其误差为 |R n |< e?3? (n?1)!(n?1)! 例2．求f(x)?sin x的n阶麦克劳林公式? 解? 因为 f ?(x)?cos x ? f ??(x)??sinx ? f ???(x)? ?cos x ? ? f(4)(x)?sinx? ? ? ? ?f(n)(x)?sin(x?n?)? 2 f (0)?0? f ?(0)?1? f ??(0)?0 ? f ???(0)??1? f ( 4)(0)?0? ? ? ?? (?1)m?12m?11135于是 sinx?x?x?x?????x?R2m(x)? 3!5!(2m?1)! 当m?1、2、3时? 有近似公式 sin x?x? sinx?x?1x3? sinx?x?1x3?1x5? 3!5!3!. . §3? 4 函数单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 如果函数y?f(x)在[a ? b]上单调增加（单调减少）? 那么它的图形是一条沿x 轴正向上升（下降）的曲线? 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）? 即y??f ?(x)?0(y??f ?(x)?0)? 由此可见? 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系? 反过来? 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？ 定理1(函数单调性的判定法) 设函数y?f(x)在[a? b]上连续? 在(a? b)内可导? (1)如果在(a? b)内f ?(x)?0? 那么函数y?f(x)在[a? b]上单调增加? (2)如果在(a? b)内f ?(x)?0? 那么函数y?f(x)在[a? b]上单调减少? 证明 只证(1)? 在[a? b]上任取两点x1 ? x2 (x1 ?x2 )? 应用拉格朗日中值定理? 得到 f(x2 )?f(x1 )?f ?(?)(x2?x1) (x1 ???x2 )? 由于在上式中? x2?x1?0? 因此? 如果在(a? b)内导数f ?(x)保持正号? 即f ?(x)?0? 那么也有f ?(?)?0? 于是 f(x2 )?f(x1 )?f ?(?)(x2 ?x1 )?0? 即 f(x1 )?f(x2 )? 这函数y?f(x) 在[a? b]上单调增加? 注? 判定法中的闭区间可换成其他各种区间? 例1 判定函数y?x?sin x 在[0? 2?]上的单调性? 解 因为在(0? 2?)内 y??1?cos x ?0? 所以由判定法可知函数y?x?cos x 在[0? 2?]上的单调增加? 例2 讨论函数y?e x ?x?1的单调性? （没指明在什么区间怎么办？) 解 y??e x ?1? 函数y?e x ?x?1的定义域为(??? ??)? 因为在(??? 0)内y??0? 所以函数y?e x ?x?1在(??? 0] 上单调减少? 因为在(0? ??)内y??0? 所以函数y?e x ?x?1在[0? ??)上单调增加? 例3? 讨论函数y?3x2的单调性? 解? 函数的定义域为(??? ??)? 当时? 函数的导数为 y??32(x?0)? 函数在x?0处不可导? 3x当x?0时? 函数的导数不存在? 因为x?0时? y??0? 所以函数在(??, 0] 上单调减少? 因为x?0时? y??0? 所以函数在[0, ??)上单调增加? 如果函数在定义区间上连续? 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续? 那么只要用方程f ?(x)?0的根及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间? 就能保证f ?(x)在各个部分区间内保持固定的符号? 因而函数f(x)在每个部分区间上单调? 例4? 确定函数f(x)?2x3?9x2?12x?3的单调区间? 解 这个函数的定义域为:(??? ??)? . . 函数的导数为:f ?(x)?6x2 ?18x ?12 ? 6(x?1)(x?2)? 导数为零的点有两个? x1 ?1、x2 ?2? 列表分析? (??? 1] [1? 2] [2? ??) f ?(x) ? ? ? f(x) ↗ ↘ ↗ 函数f(x)在区间(??? 1]和[2? ??)内单调增加? 在区间[1? 2]上单调减少? 例5? 讨论函数y?x3的单调性? 解 函数的定义域为? (??? ??)? 函数的导数为? y??3x2 ? 除当x?0时? y??0外? 在其余各点处均有y??0? 因此函数 y?x 3在区间(??? 0]及[0? ??)内都是单调增加的? 从而在整个定义域? (??? ??)内是单调增加的? 在x?0处曲线有一水平切线? 一般地? 如果f ?(x)在某区间内的有限个点处为零? 在其余各点处均为正（或负）时? 那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的? 例6? 证明? 当x?1时? 2x?3?1? x 证明? 令f(x)?2x?(3?1)? 则 x f?(x)?1?12?12(xx?1)? xxx 因为当x?1时? f ?(x)?0? 因此f(x)在[1, ??)上f(x)单调增加? 从而当x?1时? f(x)?f(1)? 由于f(1)?0? 故f(x)?f(1)?0? 即 2x?(3?1)?0? x也就是2x?3?1(x?1)? x 二、曲线的凹凸与拐点 凹凸性的概念? y y f(x1)?f(x2) f(x1)?f(x2)22 x?xf122x?x f122 f(x1) f(x1) f(x2) x 2 O x1 x1?x2O x1 x1?x2x 22 定义 设f(x)在区间I上连续? 如果对I上任意两点x 1? x 2? 恒有 ???? f(x2) x 2 x .
