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第三章 中值定理与导数的应用
教学目的：
1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函
数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐
近线，会描绘函数的图形。
4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6、 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点：
1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；
2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法； 3、函数图形的凹凸性； 4、洛必达法则。 教学难点：
1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2、极值的判断方法；
3、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4、洛必达法则的灵活运用。 §3? 1 中值定理
一、罗尔定理
费马引理
设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义? 并且在x0处可导? 如果对任意x?U(x0)? 有 f(x)?f(x0) (或f(x)?f(x0))? 那么f ?(x0)?0?
罗尔定理 如果函数y?f(x)在闭区间[a, b]上连续? 在开区间(a, b)内可导? 且有f(a)?f(b)? 那么在(a, b)内至少在一点? ? 使得f ?(?)?0?
简要证明? (1)如果f(x)是常函数? 则f ?(x)?0? 定理的结论显然成立?
(2)如果f(x)不是常函数? 则f(x)在(a? b)内至少有一个最大值点或最小值点? 不妨设有一最大值点??(a? b)? 于是
?(?)?limf?(?)?f??(?)?limf?(?)?f?所以f ?(x)=0.
.
x???f(x)?f(?)?0?
x??f(x)?f(?)?0?
x??x???.
罗尔定理的几何意义?
二、拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a? b]上连续? 在开区间(a? b)内可导? 那么在(a? b)内至少有一点?(a
f(b)?f(a)?f ?(?)(b?a)
成立?
拉格朗日中值定理的几何意义?
f ?(?)?
定理的证明? 引进辅函数 令??(x)?f(x)?f(a)?
f(b)?f(a)(x?a)?
b?af(b)?f(a)?
b?a容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件? ?(a)??(b)?0? ?(x)在闭区间[a? b] 上连续在开区间(a? b)内可导? 且
???(x)?f ?(x)?
f(b)?f(a)?
b?a根据罗尔定理? 可知在开区间(a? b)内至少有一点?? 使? ?(?)?0? 即
f ?(?)?
由此得
f(b)?f(a)?0?
b?af(b)?f(a)? f ?(?) ?
b?a即 f(b)?f(a)?f ?(?)(b?a)? 定理证毕?
f(b)?f(a)?f ?(?)(b?a)叫做拉格朗日中值公式? 这个公式对于b 设x 为区间[a? b]内一点? x??x 为这区间内的另一点(?x>0或?x<0)? 则在[x? x??x ] (?x>0)或[x??x? x ] (?x<0)应用拉格朗日中值公式? 得 f(x??x)?f(x)?f ?(x???x) ? ?x (0 如果记f(x)为y? 则上式又可写为 ?y?f ?(x???x) ? ?x (0 试与微分d y?f ?(x) ? ?x 比较? d y ?f ?(x) ? ?x是函数增量?y 的近似表达式? 而 f ?(x???x) ? ?x是函数增量?y 的精确表达式? 作为拉格朗日中值定理的应用? 我们证明如下定理? 定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零? 那么f(x)在区间I上是一个常数? 证 在区间I上任取两点x1? x2(x1 由假定? f ?(?)?0? 所以f(x2)?f(x1)?0? 即 f(x2)?f(x1)? . . 因为x1? x2是I上任意两点? 所以上面的等式表明? f(x)在I上的函数值总是相等的? 这就是说? f(x)在区间I上是一个常数? 例2? 证明当x?0时? x?ln(1?x)?x? 1?x 证 设f(x)?ln(1?x)? 显然f(x)在区间[0? x]上满足拉格朗日中值定理的条件? 根据定理? 就有 f(x)?f(0)?f ?(?)(x?0)? 0 1?x ln(1?x)?x? 1??又由0???x? 有 x?ln(1?x)?x? 1?x 三、柯西中值定理 设曲线弧C由参数方程 X?F(x) ??Y?f(x) (a?x?b) ?表示? 其中x为参数? 如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线? 那么在曲线C上必有一点x???? 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB? 曲线C上点x???处的切线的斜率为 f?(?) dY?? dXF?(?)弦AB的斜率为 f(b)?f(a) ? F(b)?F(a)于是 f(b)?f(a)f?(?)? ?F(b)?F(a)F?(?) 柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a? b]上连续? 在开区间(a? b)内可导? 且F ?(x)在(a? b)内的每一点处均不为零? 那么在(a? b)内至少有一点??? 使等式 f(b)?f(a)f?(?) ? ?F(b)?F(a)F?(?)成立? 显然? 如果取F(x)?x? 那么F(b)?F(a)?b?a? F ?(x)?1? 因而柯西中值公式就可以写成? f(b)?f(a)?f ?(?)(b?a) (a 这样就变成了拉格朗日中值公式了? . . §3. 3 泰勒公式 对于一些较复杂的函数? 为了便于研究? 往往希望用一些简单的函数来近似表达? 由于用多项式表示的函数? 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算? 便能求出它的函数值? 因此我们经常用多项式来近似表达函数? 在微分的应用中已经知道? 当|x|很小时? 有如下的近似等式? e x ?1?x? ln(1?x) ?x? 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子? 但是这种近似表达式还存在着不足之处? 首先是精确度不高? 这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小? 其次是用它来作近似计算时? 不能具体估算出误差大小? 因此? 对于精确度要求较高且需要估计误差时候? 就必须用高次多项式来近似表达函数? 同时给出误差公式? 设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n?1)阶导数? 现在我们希望做的是? 找出一个关于(x?x0 )的n次多项式 p n(x)?a 0?a 1(x?x0 )? a 2(x?x0 ) 2? ? ? ? ? a n (x?x0 ) n 来近似表达f(x)? 要求p n(x)与f(x)之差是比(x?x0 ) n高阶的无穷小? 并给出误差| f (x)? p n (x)|的具体表达式? 我们自然希望p n(x)与f(x)在x0 的各阶导数(直到(n?1)阶导数)相等? 这样就有 p n(x)?a 0?a 1(x?x0 )? a 2(x?x0 ) 2?? ? ? ? a n (x?x0 ) n ? p n?(x)? a 1?2 a 2(x?x0 ) ?? ? ? ?na n (x?x0 ) n?1 ? p n??(x)? 2 a 2 ? 3?2a 3(x?x0 ) ?? ? ? ? n (n?1)a n (x?x0 ) n?2 ? p n???(x)? 3!a 3 ?4?3?2a 4(x?x0 ) ?? ? ? ? n (n?1)(n?2)a n (x?x0 ) n?3 ? ? ? ? ? ? ? ? p n (n)(x)?n! a n ? 于是 pn (x0 )?a 0 ? p n ?(x0 )? a 1 ? p n ??(x0 )? 2! a 2 ? p n ???(x)? 3!a 3 ? ? ? ? ? p n (n)(x)?n! a n? 按要求有 f(x0)?p n(x0) ?a0? f ?(x0)? p n ?(x0)? a 1 ? f ??(x0)? p n ??(x0)? 2! a 2 ? f ???(x0)? p n ???(x0)? 3!a 3 ? ? ? ? ? ? ? f (n)(x0)? p n (n)(x0)?n! a n ? 从而有 a 0?f(x0 )? a 1?f ?(x0 )? a2?1f??(x0)? ? ? ? ? a3?1f???(x0)? an?1f(n)(x0)? 3!2!n!ak?1f(k)(x0)(k?0? 1? 2? ? ? ?? n)? k!.
