《空间向量与立体几何》单元复习与巩固 知识网络
目标认知
考试大纲要求：
1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 4. 理解直线的方向向量与平面的法向量.
5. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 6. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.
7. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究
几何问题中的作用.
重点
1、能用共线向量、共面向量、空间向量基本定理及有关结论证明点共线、点共面、线共面及线线、线
面的平行与垂直问题；
2、利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关平行、垂直、线线
角、线面角、二面角及点线、点面、面面距离等问题。
难点
①利用空间向量证明空间中的平行与垂直关系。
②利用空间向量求两异面直线所成的角、线面角和二面角等计算空间角的问题； ③利用空间向量求空间距离问题。
学习策略
1．用向量知识来探讨空间的垂直与平行问题，关键是找出或求出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量，通过讨论向量的共线或垂直，确定线面之间的位置关系。对于垂直问题，一般是利用
进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共
面向量定理进行证明．
2．用向量方法求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)，其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式
。
3．空间中各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解。 设n是平面
的法向量，AB是平面
的一条斜线，交平面
于A，则点B到平面
的
距离为
。
知识要点梳理
知识点一：平面的法向量
定义：已知平面法向量。
，直线
，取的方向向量，有
，则称为为平面
的
注意：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。
知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。 （1）线线平行 设直线
，。
（2）线面平行
的向量是，则要证明
，只需证明
，即
的方向向量分别是
，
，则要证明
，只需证明
，即
①设直线的方向向量是，平面
。
②根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平 面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共 线向量。
③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共
线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量
能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。
（3）面面平行
①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。
②若能求出平面
，
的法向量，，则要证明
，只需证明
。
知识点三：用向量方法判定空间的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直。 （1）线线垂直
设直线，的方向向量分别为，，则要证明
（2）线面垂直
的向量是，则要证明
，只需证明
。
，只需证明
，即
。
①设直线的方向向量是，平面
②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。
（3）面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。 ②证明两个平面的法向量互相垂直。
知识点四：利用向量求空间角
（1）求异面直线所成的角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，
则。
注意：两异面直线所成的角的范围为（00,900]。两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。
（2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面角为
，
的法向量为，直线与平面所成的角为，与的
则有。
（3）求二面角 如图，若
于A，
于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角
的平面角，∠AEB+∠APB=180°。
若分别为面，的法向量，
或
，即二面角等于它的两个面的法向
则二面角的平面角量的夹角或夹角的补角。 ①当法向量的夹角
的大小。
与
的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，
