高三数学总复习知能达标训练第六章第六节
直接证明与间接证明
(时间40分钟，满分80分)
一、选择题(6×5分＝30分)
1．(2012·青岛模拟)若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断 ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立； ③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立． 其中判断正确的个数是 A．0 C．2
B．1 D．3
解析 ①②正确，③中，a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3. 答案 C
2．设a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a，b，c的大小顺序是 A．a＞b＞c C．c＞a＞b 解析 a＝
B．b＞c＞a D．a＞c＞b
111
，b＝，c＝. 3＋26＋57＋6
111
∵0＜3＋2＜6＋5＜7＋6，∴＞＞.
3＋26＋57＋6∴a＞b＞c 答案 A
111
3．设a、b、c均为正实数，则三个数a＋b、b＋c、c＋a A．都大于2
B．都小于2
D．至少有一个不小于2
C．至少有一个不大于2 解析 ∵a＞0，b＞0，c＞0，
1??1??1??1??1??1??
∴?a＋b?＋?b＋c?＋?c＋a?＝?a＋a?＋?b＋b?＋?c＋c?≥6， ????????????当且仅当a＝b＝c时，“＝”成立， 故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2. 答案 D
4．(2012·临沂模拟)命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定
是等差数列”是否成立
A．不成立 C．不能断定
B．成立 D．能断定
解析 ∵Sn＝2n2－3n，
∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，
∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)． 又∵an＋1－an＝4(n≥1)，∴{an}是等差数列． 答案 B
5．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设 A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60° 答案 B
6．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是 A．若a＞b，则ac2＞bc2 ab
B．若c＞c，则a＞b
11
C．若a3＞b3且ab＜0，则a＞b 11
D．若a2＞b2且ab＞0，则a＜b 答案 C
二、填空题(3×4分＝12分)
7．已知函数f(x)＝ax＋2a＋1，当x∈[－1,1]时，f(x)有正值也有负值，则实数a的取值范围为________．
解析 由题意得f(x)＝ax＋2a＋1为斜率不为0的直线， 由单调性知f(1)·f(－1)＜0，
1∴(a＋2a＋1)·(2a－a＋1)＜0.∴－1＜a＜－3. 1答案 －1＜a＜－3
111
8．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则a＋b＋c≥________. 111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c解析 a＋b＋c＝a＋b＋
c
?baaccb?＝3＋?a＋b＋c＋a＋b＋c?
??≥3＋(2＋2＋2)＝9. 答案 9
9．(2012·莱芜调研)凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对f?x1?＋f?x2?＋?＋f?xn??x1＋x2＋?＋xn?
?，已知函于区间D内的任意x1，x2，?，xn，有≤f?
nn??数y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________．
解析 ∵f(x)＝sin x在区间(0，π)上是凸函数， 且A、B、C∈(0，π)，
f?A?＋f?B?＋f?C??A＋B＋C??π?
?＝f?3?， ∴≤f?
33????π33
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin 3＝2， 33
所以sin A＋sin B＋sin C的最大值为2. 答案
332
三、解答题(38分)
10．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.
1
(1)证明：a是f(x)＝0的一个根； 1
(2)试比较a与c的大小； (3)证明：－2＜b＜－1.
解析 (1)证明 ∵f(x)图象与x轴有两个不同的交点， ∴f(x)＝0有两个不相等的实根x1，x2， ∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根． c1?1?
又x1·x2＝a，∴x2＝a?a≠0?.
??1
∴a是f(x)＝0的一个根．
11
(2)假设a＜c，又a＞0，由0＜x＜c时，f(x)＞0， 1?1??1?????知fa＞0与fa＝0矛盾，∴a≥c， ????
11又∵a≠c，∴a＞c.
(3)证明 由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0， ∴b＝－1－ac.
又a＞0，c＞0，∴b＜－1.
二次函数f(x)的图象的对称轴方程为 bx1＋x2x2＋x21b1x＝－2a＝2＜2＝x2＝a，即－2a＜a. 又a＞0，∴b＞－2，∴－2＜b＜－1.
11．(12分)(2012·合肥模拟)(1)设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3； (2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．
解析 (1)证明 x是正实数，由均值不等式知 x＋1≥2x，x2＋1≥2x，x3＋1≥2x3，
故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2x·2x·2x3＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)． (2)若x∈R不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立． 由(1)知，当x＞0时，不等式成立； 当x≤0时，8x3≤0，而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1) ＝(x＋1)2·(x2＋1)(x2－x＋1) ??1?23?x－?＋?≥0， ＝(x＋1)2(x2＋1)??
??2?4?此时不等式仍然成立．
12．(14分)已知在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，1m
bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求当正整数m为何值时，Tn＞12对于任意n∈
n?12－an?N*恒成立．
解析 由an＋2－2an＋1＋an＝0， 可得an＋2－an＋1＝an＋1－an， 所以数列{an}是一个等差数列， 其首项a1＝8，公差d＝
a4－a1
＝－2， 4－1
所以an＝8－2(n－1)＝10－2n， 11
所以bn＝＝ n?12－an?n[12－?10－2n?]1?1?1
＝2?n－n＋1?， ??
所以
1??1??11?1???1－Tn＝2??1－2?＋?2－3?＋?＋?nn＋1??
????????1?1?n
＝2?1－n＋1?＝， ??2?n＋1?因为
n1*
＝，n∈N，
1?2?n＋1??
2?1＋n???
1nm
所以当n＝1时，Tn取得最小值，欲使＞ 42?n＋1?12对于任意n∈N*恒成立，
m1
只需12＜4，解得m＜3，又m∈N*，所以m＝1,2.
