第十编 计数原理
§10.1 两个基本计数原理
基础自测
种. 答案 12
2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有 种. 答案 5
3.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有 种不同的选法. 答案 20
4.将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有 种. 答案 36
5.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？
（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？
（3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？ 解 （1）“完成这件事”只需从老师、学生中选1人即可，共有3+8+5=16种.
(2)“完成这件事”需选2人，老师、学生各1人，分两步进行：选老师有3种方法，选学生有8+5=13种方法，共有 3×13=39种方法.
(3)“完成这件事”需选3人，老师、男同学、女同学各一人，可分三步进行，选老师有3种方法，选男同学有8种方法，选女同学有5种方法，共有3×8×5=120种方法.
1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有
例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
解 方法一 按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个. 由分类计数原理知，符合题意的两位数的个数共有： 8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）.
方法二 按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个，所以按分类计数原理共有： 1+2+3+4+5+6+7+8=36（个）.
例2 已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问: (1)P可表示平面上多少个不同的点? (2)P可表示平面上多少个第二象限的点?
(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点? 解 （1）确定平面上的点P(a,b)可分两步完成： 第一步确定a的值，共有6种确定方法； 第二步确定b的值，也有6种确定方法.
根据分步计数原理，得到平面上的点数是6×6=36. （2）确定第二象限的点，可分两步完成： 第一步确定a，由于a＜0,所以有3种确定方法； 第二步确定b,由于b＞0，所以有2种确定方法. 由分步计数原理，得到第二象限点的个数是3×2=6.
（3）点P（a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y=x上的点有6个.
由（1）得不在直线y=x上的点共有36-6=30个.
例3 （16分）现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.
（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ （2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？
（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？ 解 （1）分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法； 第二类，从二班学生中选1人，有8种选法； 第三类，从三班学生中选1人，有9种选法； 第四类，从四班学生中选1人，有10种选法. 所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34（种）. N=7×8×9×10=5 040（种）.
4分 8分
（2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法 （3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，
14分
所以共有不同的选法
N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431（种）.
16分
1.从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法? 解 当一个加数是1时,另一个加数只能是20,1种取法. 当一个加数是2时,另一个加数可以是19,20,2种取法. 当一个加数是3时,另一个加数可以是18,19,20,3种取法. ??
当一个加数是10时,另一个加数可以是11,12,?,20,10种取法. 当一个加数是11时,另一个加数可以是12,13,?,20,9种取法. ??
当一个加数是19时,另一个加数是20,1种取法.
由分类计数原理可得共有1+2+3+?+10+9+8+?+1=100种取法.
2.某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？ 解 先分三步选号，再计算总钱数. 按号段选号，分成三步.
第一步从01至17中选3个连续号，有15种选法； 第二步从19至29中选2个连续号，有10种选法； 第三步从30至36中选1个号，有7种选法. 由分步计数原理可知，满足要求的号共有 15×10×7=1 050(注),
故至少要花1 050×2=2 100(元).
3.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.
（1）任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？ （2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？
（3）选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？
解 （1）分三类：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选一个班，有7种不同方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法.由分类计数原理，共有6+7+8=21种不同的选法. （2）每种选法分三步：第一步从高一年级选一个班，有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法.由分步计数原理，共有6×7×8=336种不同的选法.
（3）分三类，每类又分两步.第一类从高一、高二两个年级各选一个班，有6×7种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7+6×8+7×8=146种不同选法.
一、填空题
1.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 种. 答案 32
2.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位中带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡，则这组号码中“优惠卡”共有 个. 答案 5 904
3.从集合{1，2，3，?，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列共有 个. 答案 8
4.如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有 种.
答案 180
5.一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有 种.
答案 48
6.（2008·全国Ⅰ文）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有 种.
答案 12
7.在2008年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有 种. 答案 2 880
8.若一个m,n均为非负整数的有序数对（m,n)，在做m+n的加法时各位均不会进位，则称（m,n)为“简单的”有序数对，m+n称为有序数对（m,n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序数对的个数是 . 答案 300 二、解答题
9.（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？ （2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？
解 （1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四个都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有：3×3×3×3=81种报名方法.
（2）完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，
于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步.而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能的情况，于是共有：4×4×4=4=64种可能的情况.
10.用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？
3
解 完成该件事可分步进行. 涂区域1，有5种颜色可选. 涂区域2，有4种颜色可选.
涂区域3，可先分类：若区域3的颜色与2相同，则区域4有4种颜色可选.若区域3的颜色与2不同，则区域3有3种颜色可选，此时区域4有3种颜色可选. 所以共有5×4×（1×4+3×3）=260种涂色方法.
11.在平面直角坐标系内，点P（a，b）的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素,又点P到原点的距离|OP|≥5.求这样的点P的个数. 解 按点P的坐标a将其分为6类: (1)若a=1,则b=5或6,有2个点; (2)若a=2,则b=5或6,有2个点;
