1964年全国统一高考数学试卷
一、解答题（共9小题，满分0分）
1．化简．
2．甲乙两人在P点的河对岸的D点，甲向东走，乙向西走，甲每分钟比乙多走a米，10分钟后，甲看P在北α度西，乙看P在北β度东，求PD．
3．解方程x4+1=0，并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点
4．求证：在△ABC中，其中α，β，γ是三角形的内角，
．
5．已知x3+mx2﹣3x+n=0的三根的平方和为6，且有两个相等的正根，求m、n．
6．圆台形铁桶的上底半径是10cm，下底半径是15cm，母线是30cm将铁桶的侧面沿一条母线剪开，铺平如图中的扇形铁片ABCD，求AB间的距离．
7．已知空间四点A、B、C、D和两平面M、N，又知A、B、C、D在M内的射影A1B1C1D1是一条直线，在N内的射影A2B2C2D2是一个平行四边形，求证ABCD是一个平行四边形．
8．如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD中有两个相切的内切圆． （1）求这两个内切圆的半径之和；
（2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？
9．第8题的题干为：如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD中有两个相切的内切圆． （1）求这两个内切圆的半径之和；
（2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？
变式（1）在第8题中，若正方形改为矩形，情况又如何？
（2）在第8题中，若正方形改为正方体，圆改为球，情况如何？
1964年全国统一高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、解答题（共9小题，满分0分）
1．化简 考点： 专题： 分析： 解答： 解：原式=．
有理数指数幂的化简求值． 计算题． 将负指数化为正指数；将根式化为分数指数幂，利用幂的运算法则化简；将分子、分母同乘以，将分母有理化． ． 点评： 本题考查化简时一般先将负指数化为正指数，根式化为分数指数幂，再利用幂的运算法则求值． 2．甲乙两人在P点的河对岸的D点，甲向东走，乙向西走，甲每分钟比乙多走a米，10分钟后，甲看P在北α度西，乙看P在北β度东，求PD．
考点： 专题： 分析： 解答： 解三角形的实际应用． 计算题． 设出乙的速度，则可依题意表示出甲的速度，分别在直角△PBD和直角△PAD中求得PD建立等式，化简整理后代入PD=10v?cotβ中求得答案． 解：设乙的速度为v， 则甲的速度为v+a． 在直角△PBD中，PD=10v?cotβ 在直角△PAD中，PD=10（v+a）cotα 10v?cotβ=10（v+a）cotαv=代入PD=10vcotβ=点评： ． ． 本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．关键是建立三角函数的模型，利用三角函数的性质来解决． 3．解方程x4+1=0，并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点
考点： 专题： 分析： 解答： 根的存在性及根的个数判断；复数的基本概念． 计算题；证明题． 将﹣1写为复数的三角形式，由方程的复数跟的表达式直接求出四个根，再由复数的几何意义找出复数在复平面内对应的点，进行证明即可． 解：∵x4=﹣1=cosπ+isinπ， ∴x=cosx1=cosx2=cosx3=cosx4=cos，k=0，1，2，3． ． ． ． ． 在复平面内（x为实轴，y为虚轴） 分别用A、B、C、D四点来表示四个根x1、x2、x3、x4（如图） 即A（C（﹣），B（﹣），D（）， ） 点评： ∵A、B关于y轴对称，A、D关于x轴对称，∴∠A=90°， 同理，∠B=∠C=∠D=90° 且|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=． ∴ABCD是正方形，而A、B、C、D是顶点． 本题考查方程的复数跟的求解、复数的三角形式、复数的几何意义等知识，考查计算能力． 4．求证：在△ABC中，其中α，β，γ是三角形的内角， 考点： 专题： 分析： 解答： ．
余弦定理；正弦定理． 证明题． 利用三角形的正弦定理将三角形的三边用角的正弦表示；利用余弦定理将等式中的余弦用边表示，等式得证． 证：设R为△ABC的外接圆的半径， 则由正弦定理可得，a=2Rsinα，b=2Rsinβ，c=2Rsinγ． 代入余弦定理中，则可得
