第五章 解三角形
第30课 正弦定理与解三角形
A 应知应会 1. 45° 【解析】由正弦定理可得=,即sin B==,注意到内角和为180°,且a>b,所以B=45°. 2. 60°或120° 【解析】在△ABC中,由正弦定理可得=,即=,解得sin C=,所以C=60°或120°.
2222
3. 【解析】由9cos2A-4cos2B=5,得9(1-2sinA)=5+4(1-2sinB),所以9sinA=4sinB,即3sinA=2sinB.由正弦定理得==. 4. 或 【解析】由正弦定理有=,得sin C=,即C=60°或120°,则A=90°或30°,所以△ABC的面积为或.
5. 【解答】由题设及正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A,故3tan A=2tan C. 因为tan A=,所以tan C=, 所以tan B=tan[180°-(A+C)] =-tan(A+C)==-1.
因为B∈(0,180°),所以B=135°.
6. 【解答】(1) 方法一:在锐角三角形ABC中,由sinA=,得cosA==, 所以tanA==.
由tan(A-B)==-,得tanB=2.
方法二: 在锐角三角形ABC中,由sinA=,得cosA==, 所以tanA==,
所以tanB=tan[A-(A-B)]===2. (2) 由tanB=2, 得sinB=,cosB=,
所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=. 由正弦定理得=, 则c==.
B 巩固提升
1. 【解析】因为A,B,C依次成等差数列,所以B=60°.由正弦定理得=,即sinA===,所以A=30°或150°(舍去),所以C=90°,所以S△ABC=ab=×1×=.
2. 等腰三角形 【解析】因为=,所以=,所以= .由正弦定理得sinB=sin2C,所以B=2C或B+2C=π.若B=2C,由 4. (2,+∞) 【解析】由三角形的三个内角成等差数列,得中间角为60°.设最小角为α,则最大角为120°-α,其中0°<α<30°.由正弦定理得m==·+>×+=2.故实数m的取值范围为(2,+∞). 5. 【解答】(1) 由正弦定理及bsin-csin=a,得sinBsin-sinCsin=sinA, 即sinBsinC+cosC-sinCsinB+cosB=, 整理得sinBcosC-cosBsinC=1, 即sin(B-C)=1. 由于0 由a=,A=,得b==2sin,c==2sin, 所以△ABC的面积S=bcsinA=sinsin=cossin=. 6. 【解答】由正弦定理得2sin Acos B=sin C.在△ABC中,A+B+C=π, 所以sinC=sin(A+B), 所以2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB, 整理得sinAcosB=cosAsinB, 所以tanA=tanB. 因为A,B∈(0,π),所以A=B. 2 又sinAsinB(2-cosC)=sin +, 2 所以sinAsinB=sin+, 所以sinAsinB=·, 所以sinAsinB=. 又A=B,所以sinA=sinB=. 因为A,B∈(0,π),所以A=B=, 所以C=, 所以△ABC是等腰直角三角形. 第31课 余弦定理与解三角形 A 应知应会 1. 2 2. 30° 【解析】由余弦定理可得cosC===,所以C=30°. 3. 5 4. 15 【解析】由题意可设三边长分别为a-4,a,a+4,则由余弦定理得 222 (a+4)=a+(a-4)-2a(a-4)cos 120°,解得a=10,则S△ABC=a(a-4)sin 120°=15. 5. 【解答】(1) 根据正弦定理可设===k(k>0), 则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC. 代入+=中, 得+=, 变形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B). 在△ABC中,由A+B+C=π,得sin(A+B)=sin(π-C)=sinC, 所以sinAsinB=sinC. 222 (2) 因为b+c-a=bc, 由余弦定理得cosA==, 所以sinA==. 由(1)知sinAsinB=sin(A+B), 所以sinB=cosB+sinB, 故tanB==4. 6. 【解答】(1) 在△ABC中,由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得=-,即cosC=-.因为0 所以sinC=sin(A+B), 所以sin(A+B)=2sinAcosB, 即sinAcosB-cosAsinB=0, 即sin(A-B)=0. 又- 方法二:由c=2acosB及余弦定理,得c=2a·,化简得a=b, 所以S△ABC=absinC=×2×2×sin=. B 巩固提升 1. 或 【解析】由余弦定理得=cos B,结合已知等式得 cos B·tan B=,所以sin B=,所以B=或. 2. 120° 【解析】由题意得lg[(a+c)(a-c)]=lg[b(b+c)],所以(a+c)(a-c)=b(b+c),所以b2+c2-a2=-bc,所以cos A==-,所以A=120°. 3. 【解析】因为S△ABC=,所以ac·sinB=,即sinB=.若B为锐角,则cos B==,则b==1,所以a=,b=c=1,所以△ABC是等腰直角三角形,这与△ABC为钝角三角形矛盾,所以B为钝角,则cosB=-=-,所以b==. 4. 【解析】由sinA+sinB=2sinC,结合正弦定理可得a+b=2c.又由余弦定理得cosC===≥=,所以≤cosC<1,故cosC的最小值为. 5. 【解答】(1) 由已知得-cos(A+B)+cosA·cosB-sinAcosB=0, 即sinAsinB-sinAcosB=0. 因为sinA≠0,所以sinB-cosB=0. 又cosB≠0,所以tanB=. 因为0 222 (2) 由余弦定理得b=a+c-2accosB. 因为a+c=1,cosB=, 2 所以b=3+. 2 又0 6. 【解答】(1) 因为A为四边形ABCD的内角,所以0<<90°,所以sin≠0,所以tan===. (2) 由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B, 故tan+tan+tan+tan=+++=+. 222 连接BD.在△ABD中,有BD=AB+AD-2AB·ADcos A, 222 在△BCD中,有BD=BC+CD-2BC·CDcos C, 2222 所以AB+AD-2AB·ADcosA=BC+CD+2BC·CDcos A, 则cosA===, 所以sinA===. 连接AC. 同理可得cosB== =, 所以sin B===. 所以tan+tan+tan+tan=+=+=. 第32课 解三角形的综合应用 A 应知应会 1. 70 n mile 【解析】设轮船A,B航行到下午2时时所在的位置分别是E,F,则依题意有CE=25×2=50,CF=15×2=30,且∠ECF=120°,所以由余弦定理得EF==70. (第2题) 2. 3 km 【解析】如图,由条件知AB=24×=6.在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,所以∠ASB=45°.由正弦定理知=,故BS=·sin 30°=3. 3. 20 【解析】如图,由题设知△BDC为等腰直角三角形,故DB=40.由∠ACB=60°和∠ADB=60°知A,B,C,D四点共圆,所以∠BAD=∠BCD=45°.在△BDA中,运用正弦定理可得AB=20. (第3题) 4.(1,] 【解析】x===sinA+cosA=sin.又A∈,所以 222 5.【解答】(1) 由正弦定理得=,整理得a=b+c-bc,又由余弦定理得cosA=.因为A是△ABC的内角,所以A=. 222 (2) 因为a,c,b成等差数列,所以2c=a+b.由(1)可知a=b+c-bc, 2222 所以(2c-b)=b+c-bc,整理得3c-3bc=0, 由c>0,得b=c,所以a=b=c, 所以△ABC是等边三角形. 222 6.【解答】(1) 在△ADC中,由余弦定理得AD+CD-2AD·CDcos∠ADC=AC. 将AD=5,CD=3,AC=7代入上式中, 得cos∠ADC=-. 因为0<∠ADC<π,所以∠ADC=. (2) 在△ABD中,由正弦定理得=,所以AB=×sin∠ADB=, 所以·=×5×cos=. B 巩固提升 1. 【解析】因为AD⊥AC,所以∠DAC=90°,所以在△ABD中,cos∠BAD=cos(∠BAC-90°)=sin∠BAC=,所以BD==. 2. 50 【解析】如图,连接OC.在△OCD中,OD=100,CD=150,∠CDO=60°,由余弦定理可得OC2=1002+1502-2×100×150×=17 500,则OC=50. (第2题) 3. 【解析】在△ABC中,由正弦定理得=,所以=,所以2cosA=.又由余弦定理得cosA==,所以2×=,解得b=5,所以cosA=×=,故sinA=,故△ABC的面积等于×5×6×=. 4. 100 【解析】在△ABC中,∠CAB=30°,∠ACB=75°-30°=45°,根据正弦定理知=,即BC=×sin∠BAC=×=300,所以CD=BC×tan∠DBC=300×=100. 5. 【解答】(1) 由题意知PA=PC=x,PB=x-1.5×8=x-12. 在△PAB中,AB=20,所以cos∠PAB===. 在△PAC中,AC=50,所以cos∠PAC===. 因为cos∠PAB=cos∠PAC, 所以=,解得x=31. (2) 过点P作PD⊥AC于点D.在△ADP中,由cos∠PAD=,得sin∠PAD==, 所以PD=PA·sin∠PAD=31×=4≈18.33. 222 6. 【解答】(1) 在△ABD中,BD=AB+AD-2AB·AD·cos A. 222 在△CBD中,BD=CB+CD-2CB·CD·cosC. 因为∠A和∠C互补,所以 AB2+AD2-2AB·AD·cosA=CB2+CD2-2CB·CD·cosC=CB2+CD2+2CB·CD·cosA, 2222 即x+(9-x)-2x(9-x)cosA=x+(5-x)+2x(5-x)cosA, 解得cosA=,即f(x)=,其中x∈(2,5). (2) 四边形ABCD的面积S=(AB·AD+CB·CD)sinA=[x(9-x)+x(5-x)]·=x(7-x)·==. 22 记g(x)=(x-4)(x-14x+49),x∈(2,5). 222 令g'(x)=2x(x-14x+49)+(x-4)·(2x-14)=2(x-7)(2x-7x-4)=0,
