§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性逐项积分逐项求导
对?x0?(?1,1), ?0?c?1,使得x0?(?c,c),当|x|?c时, 有
1?1?1?????x?n???c?n?,而级数??c?n?收敛, 根据
?????n?1?n?1??优级数判别法, 知??x??在[?c,c]上一致收敛.
n?n?1?n?1??因此f在??1,1?上内闭一致收敛，从而??x??n?n?1?的和函数f在??1,1?上连续.注上述用开区间的“内闭”一致收敛来得出和函数连续性方法是函数项级数中典型的解题方法, 请关注.
数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社nn?n复习思考题
1. 如何利用一致收敛的性质来判别函数列或函数项级数不一致收敛? (例4已经给出了一个方法, 其他请自行总结.）
2. 如果对每个n,un(x)是区间[a,b]的单调函数,是否可以根据级数?un(a)和?un(b)的收敛性, 得到函数项级数?un(x)在[a,b]上的一致收敛性?
3. 请举出函数项级数的例子, 说明一致收敛只是可以进行逐项积分和逐项微分运算的充分条件而不是必要条件。
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