§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性逐项积分逐项求导
1??*例4 确定函数项级数??x??的收敛域并讨论
n?n?1?和函数的连续性.
解首先利用连续性定理(或极限交换定理)建立一个判别法: 若函数项级数?un(x)的每一项在[a,b)上有定义, 且
(i) ?n,un(x)在点a右连续;(ii) ?x?(a,b), ?un(x)收敛;
?n(iii) 级数?un(a)发散,
则?un(x)在(a,b)上不一致收敛.
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理由是, 如果
x?a?u(x)在(a,b)上一致收敛, 则由(i)
nlimu(x)?u(a), 及极限交换定理得nn?x?alim??un(x)??lim?un(x)??un(a)x?a与?un(a)发散矛盾. 这就证明了上述判别法.
1??对函数项级数??x??,用根式判别法求出其收
n?n?1?1?1?敛域. 因为?x???x??|x|(n??),
n?n?所以当|x|?1时级数收敛, |x|?1时级数发散.
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1??1??而当x?1时, 级数??1??的一般项?1???e?0,n?n?n?1??n?1??发散; 当x??1时, 级数???1??的一般项
n?n?1?1?1??n??0,也发散. ??1?n??(?1)?1?n??????因此这个级数的收敛域为(?1,1).n?nnn1??设在(?1,1)上f(x)???x??,n?n?1?数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社?n§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性逐项积分逐项求导
1??因为un(x)??x??在x?1和x??1处分别为左
n??1?1???连续和右连续, 而级数??1??和???1??发
n?n?n?1?n?1?1??散,故根据本例第一段的判别法, 知道??x??在
n?n?1?(?1,1)上不一致收敛. 这说明不能用连续性定理得
出和函数在(?1,1)上连续. 是否和函数在(?1,1)上就不连续了? 下面继续讨论.
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