数学分析第十三章函数列与函数项级数一致收敛性的重要性在于可以将通项函数的许多解析性质遗传给和函数，如连续性、可积性、可微性等，这在理论上非常重要.§13.2 一致收敛函数列与函数项级数的性质§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性可积性可微性
一致收敛函数列的性质
定理13.8（极限交换定理）设函数列{fn}在(a,x0)?(x0,b)上一致收敛于f(x),且
则liman和limf(x)均存在且limfn(x)?an，对每个n , 相等.即
x?x0n??x?x0x?x0n??limlimfn(x)?limlimfn(x).n??x?x0(2)证先证{an}是收敛数列. 对任意??0，由于{fn}一致收敛,
故存在正整数N, 当n>N及对任意正整数p, 对一切x?(a,x0)?(x0,b)，有
|fn(x)?fn?p(x)|??.数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社后退
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§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性可积性可微性
从而
|an?an?p|?lim|fn(x)?fn?p(x)|??.x?x0于是由柯西准则可知{an}是收敛数列,设liman?A,n??则limlimfn(x)?A.n??x?x0下面证明limf(x)?limlimfn(x)?A.x?x0x?x0n??注意到|f(x)?A|?|f(x)?fN?1(x)|?|fN?1(x)?aN?1|?|aN?1?A|an收敛于A，由于fn(x)一致收敛于f(x)，因此对任意对任意x?(a,x0)?(x0,b)当n?N时，存在正数N，??0，|fn(x)?f(x)|?高等教育出版社?3和|an?A|??3同时成立.
数学分析第十三章函数列与函数项级数§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性可积性可微性
有特别当n=N+1时，
|fN?1(x)?f(x)|?0?33又因为limfN?1(x)?aN?1,故存在??0，当0?|x?x0|??x?x3于是,当x满足0?x?x0??时,|f(x)?A|?|f(x)?fN?1(x)|+|fN?1(x)?aN?1|?和|aN?1?A|??时,也有|fN?1(x)?aN?1|??.?3??3??3??,+|aN?1?A|这就证明了limf(x)?A.数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社x?x0
