§1 含参量正常积分定义连续性可微性可积性例题
因为
x1???x????,?22?21???1?x1??x?(1?x)(1??x)所以
111?1?x??I?(?)?dx?dx?dx??2?022??001???1?x1?x1??x?1?21??1?21??高等教育出版社111??21?arctanx?ln(1?x)?ln(1??x)00??02?????1??ln2?ln(1??).???42?数学分析第十九章含参量积分§1 含参量正常积分定义连续性可微性可积性例题
1??1??因此?I(?)??ln2?ln(1??)d??0?01??2??42???1121?ln(1??)?ln2arctan?0?I(1)082???ln2?ln2?I(1)88??ln2?I(1).411另一方面所以
高等教育出版社?10I?(?)d??I(1)?I(0)?I(1),?I?I(1)?ln2.8数学分析第十九章含参量积分§1 含参量正常积分定义连续性可微性可积性例题
例4 设f(x)在x?0的某个邻域内连续, 验证当|x|充
x1n?1(9)(x?t)f(t)dt分小时, 函数?(x)??(n?1)!0(n)的各阶导数存在，且?(x)?f(x).解由于(9)中被积函数F(x,t)?(x?t)f(t)以及其偏导数Fx(x,t)在原点的某个方邻域内连续, 于是由定理19.4 可得
x1n?2??(x)?(n?1)(x?t)f(t)dt??(n?1)!01n?1+(x?x)f(x)(n?1)!数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社n?1§1 含参量正常积分定义连续性可微性可积性例题
x1n?2?(n?1)(x?t)f(t)dt.?(n?2)!0x1n?3同理???(x)?(n?1)(x?t)f(t)dt,?(n?3)!0如此继续下去，求得k 阶导数为
x1(k)n?k?1?(x)?(n?1)(x?t)f(t)dt.?(n?k?1)!0特别当k?n?1时有?于是?(x)?f(x).(n)(n?1)(x)??f(t)dt,0x附带说明:当x = 0 时,?(x)及其各导数为
(n?1)?(0)???(0)????(0)?0.数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社
