2013年河南专升本高数教材（云飞）版
第三章考点、重点、难点导读
一、本章考试要求
1、掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义．
2、熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“?/?”、“0??”、“???”、“1”、“0”和“?”型未定式极限的方法．
3、掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式．
4、理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简单的应用问题．
5、会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点． 6、会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线． 0?0二、本章重点和难点 I 重点：
1、利用洛必达法则求极限； 2、讨论函数的单调性和极值； 3、讨论函数的凹向性和拐点； 4、求函数渐近线方程；
5、利用单调性和拉格朗日中值定理证明不等式； 6、一元函数的最优化应用题。
II 难点：
利用中值定理证明方程根的存在性、等式、不等式；最优化的应用题。
三、常考知识点
I、指出函数在给定的区间上是否满足罗尔中值定理、拉格朗日中值定理或满足定理求定理中的?值（选择题或填空题）
II、利用罗尔定理证明含有?的等式或方程根的存在性（证明题）
III、利用拉格朗日中值定理、单调性证明不等式（证明题） IV、利用洛必达法则求极限（选择题或计算题） V、求函数的单调区间及极值（填空题或计算题）
VI、求曲线的凹向区间或拐点坐标（选择题或填空题或计算题） VII、求函数某种形式的渐近线（选择题或者填空题） VIII、实际应用问题（应用题）
四、知识点讲解
I、指出函数在给定的区间上是否满足罗尔中值定理、拉格朗日中值定理或满足定理求定理中的?值 （一）罗尔中值定理 如果函数y?（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在f(x)满足下述的三个条件：
开区间(a,b)内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即那么在(a,b)内至少有一点?（a??f(a)?f(b)，
，使得f?(?)?0． ?b）说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若
f?(x0)?0，则称点x0为函数f(x)的驻点．
（二）拉格朗日中值定理
如果函数y?（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）f(x)满足下述的两个条件：，使得下式?b）
在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点?（a??（拉格朗日中值公式）成立：f(b)?f(a)?f?(?)．
b?a说明：当f(b)?f(a)时，上式的左端为零，右端式(b?a)不为零，则只能
f?(?)?0，这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于拉
格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理．
（三）两个推论 （1）如果函数数．
f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常
（2）如果函数
f(x)与g(x)在区间(a,b)内的导数恒有f?(x)?g?(x)，则这
． f(x)?g(x)?C（C为常数）
两个函数在(a,b)内至多相差一个常数，即
例1 验证罗尔定理对函数
?5?f(x)?lnsinx在区间[,]上的正确性．
66解：显然函数
f(x)?lnsinx在闭区间[,]上连续，在开区间(,)上6666，
?5??5?，xn可导
f?(?x)1?(?lx?n?ssxini且)xcf(?6?f)5???(6)，使得
，故满足罗尔定理的条件，由定理可得至少存在一点)ln2??(,?5?66f?(?)?0，即cot??0，???2即为满足条件的点． 例2 证明arcsinx?arccosx?证明：设 因为 所以 又因为 ?2，其中?1?x?1． f(x)?arcsinx?arccosx，x?[?1,1]， f?(x)?11?x2?(?11?x2)?0，
f(x)?C，x?[?1,1]． f(0)?arcsi?n0arcsixn?arc?co?s0?0，即 C?，
222???故
arcxc?os．
2?说明：同理可证，arctanx?arccotx??2，x?(??,??)．
例3 函数
f(x)?lnx在区间[1,2]上满足拉格朗日公式中的?等于（ ）
1（A）ln2 （B）ln1 （C）lne （D）
ln2
解：对函数f(x)?lnx在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理，
11．选（D）． f(2)?f(1)?f?(?)(2?1)，即 ln2?0?，故 ???ln2II、利用罗尔定理证明含有?的等式或方程根的存在性
只要证明题中涉及到?的等式或者方程根的存在性（不能用零点定理解决的），那么该题要用到的知识点就是罗尔中值定理。使用该定理的首要问题就是构造函数，具体步骤是：将要证明的方程变形，用一端减去另一端（把方程的一端变为0），将?的地方都换成x，观察哪个函数求导之后为这个代数式，这个函数就是要构造的函数。然后确定区间,验证是否满足定理，得到证明的结论. 例1 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且
f(a)?f(b)?0，证明：存在??(a,b)，使得f?(?)?f(?)g?(?)?0
证明：设 F(x)?f(x)eg(x)， 由f(x),g(x)的连续性知：
F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)?F(b)?0，由罗尔定理知 存在
??(a,b)，使得 F?(?)?0 即
f?(?)eg(?)?f(?)g?(?)eg(?)?0，所以 f?(?)?f(?)g?(?)?0 证毕。
