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即a ba 11 所以f(a) ba 3．分类讨论思想在二次函数最值中的应用 典例 (10分)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值． 思想方法指导 已知函数f(x)的最值，而f(x)图象的对称轴确定，要讨论a的符号． 规范解答 解 f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.[1分] (1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；[3分] 3 (2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；[6 8分] (3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.[9分] 3 综上可知，a的值为或－3.[10分] 8 1．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为( ) A．－3 B．13 C．7 D．5 答案 B 解析 函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称， ∴m＝－8，∴f(1)＝2＋8＋3＝13. 2．幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 C 解析 ∵y＝xm－4m(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点， ∴m2－4m<0，即0 又∵函数的图象关于y轴对称且m∈Z， ∴m2－4m为偶数，因此m＝2. 3．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a2的取值范围是( ) A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞) 答案 C 解析 由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝2(如图)， 若f(a)≥f(0)，从图象观察可知0≤a≤4. 4．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－25 4 ，－4]，则m的取值范围是( A．[0,4] B．[3 2，4] C．[3 2，＋∞) D．[3 2 ，3] 答案 D 解析 二次函数图象的对称轴为x＝32且f(325 2)＝－4 ，f(3)＝f(0)＝－4， 由图得m∈[3 2 ，3]． 5．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于( ) A．－1 B．1 C．2 D．－2 答案 B 解析 ∵函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点处取得， ) ∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a， ???－a≥4－3a，?－a≤4－3a，∴?或?解得a＝1. ??－a＝14－3a＝1，?? 6．已知二次函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1 1解析 该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝， 4又依题意，得x1<0，x2>0，又x1＋x2＝0， 11 则－x1>x2－，故f(x1) 7．(2016·烟台模拟)已知幂函数f?x?＝x________． 答案 (3,5) 解析 ∵幂函数f?x?＝x1－21－2B．f(x1)>f(x2) D．与a值有关 ，若f(a＋1) 单调递减，定义域为(0，＋∞)， a＋1>0，?? ∴由f(a＋1) ??a＋1>10－2a，解得3 8．当0 －2 的大小关系是________________． 解析 如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象，由此可知，h(x)>g(x)>f(x)． 9．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________． 答案 (－∞，－5] 解析 方法一 ∵不等式x2＋mx＋4<0对x∈(1,2)恒成立， ∴mx<－x2－4对x∈(1,2)恒成立， 4 即m<－(x＋)对x∈(1,2)恒成立， x 44 令y＝x＋，则函数y＝x＋在x∈(1,2)上是减函数． xx4 ∴4 x方法二 设f(x)＝x2＋mx＋4，当x∈(1,2)时， ???f?1?≤0，?m≤－5， f(x)<0恒成立?????m≤－5. ??f?2?≤0m≤－4?? *10.若函数f(x)＝x2－a|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 答案 [0,2] 2??x－ax＋a，x∈[1，＋∞?， 解析 f(x)＝?2 ?x＋ax－a，x∈?－∞，1?，? a2a2 x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x－ax＋a＝(x－)＋a－， 24 2 a2a2 x∈(－∞，1)时，f(x)＝x＋ax－a＝(x＋)－a－. 24 2 aaa ①当>1，即a>2时，f(x)在[1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，不合题意； 222a ②当0≤≤1，即0≤a≤2时，符合题意； 2a ③当<0，即a<0时，不符合题意． 2综上，a的取值范围是[0,2]． 11．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]． ∵f(x)的对称轴为x＝1， ∴当x＝1时，f(x)取最小值1； 当x＝－5时，f(x)取最大值37. (2)f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的对称轴为x＝－a， ∵f(x)在[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5. 故实数a的取值范围为a≤－5或a≥5. (m＋m)12．已知幂函数f?x?＝x(m∈N*)． 2－1(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若函数f(x)的图象经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围． 解 (1)因为m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)， 而m与m＋1中必有一个为偶数，所以m2＋m为偶数， (m＋m)所以函数f?x?＝x(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数． 2－1(2)因为函数f(x)的图象经过点(2，2)， 所以2＝2(m2＋m)－1即2＝2，12(m2＋m)－1， 所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2. 又因为m∈N，所以m＝1，f(x)?x, 又因为f(2－a)>f(a－1)， 2－a≥0，?? 所以?a－1≥0， ??2－a＞a－1， * 12 3 解得1≤a＜， 2 故函数f(x)的图象经过点(2，2)时，m＝1. 3 满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为[1，)． 2 13．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 解 要使f(x)≥0恒成立，则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a)． a7 (1)当－<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤，故此时a不存在； 23a?aa2?(2)当－∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝f?－2?＝3－a－≥0，得－6≤a≤2， 24又－4≤a≤4，故－4≤a≤2； a (3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0， 2得a≥－7，又a<－4，故－7≤a<－4， 综上得－7≤a≤2.
