第0章 绪论
一. 引言：远古的计数
数是一串符号或字母的约定性组合，用以表示某种事物的量或值的多寡程度，因此数是事物的量或值的抽象表示，进而将数或值不加区分，通常称为数值。
数的起源：数值来源于计数，它由远古的计数产生而逐渐形成了它的表示方法。
远古的计数：A.语言（传说或歌谣）B.婴孩怎样学说话和计数C.研究原始民族。
人类刚刚学会说话时，他们只知道：一和二，数到三时觉得很困难。一生二，二生三，??慢慢地，又添上了越来越多的新数，进而学会数到五，又把两个“五”加起来成为一个“十”、大自然赋予人类的“计数器”——两只手和十个手指。
“五”和“十”，在计数发展史上的作用。“一五一十，了如指掌，屈指可数??”，从此可以看出人类首先学会了五个五个数数：“正”，然后合起来十个十个地计数——十进制的诞生（算盘为证），今天手工投票也是一个一个“正”，然后数“正”字。
在文字出现前，每一件东西，每一个动作都要用一个特别的符号（一个小小的图画）表示：如猎了一头牛，就画一头牛（象形文字）。牛多了不好记，必须改进计数的技巧：A.转向简便的文字，即由象形文字改变到用字母来计数（罗马）；B.发明一种方法，用特别的符号来计数（中国、巴比伦）
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1罗马计数法
ⅠⅡ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ I(1)→I 手掌→罗马数字的优缺点 2 巴比伦计算法 3 印度记数法
15世纪以后，印度的科学与艺术得到了繁荣。数学特别被尊重，因为可用它来推算历法，预测日、食等。 阿拉伯数1，2，??，0
十进制记数法由低到高位依次为?? 大约有千，百，百万，没有万 100 000 000 4 中国记数法 5 通用的记数法
通用的记数法是以印度记数法为原理的R进制记数法（2，8，10，16）其定点形式（称为定点数）为 (?n0-1
????.??????)=R+…+R+R+…+?m?nn?11012mRn01ij→V VV(10) 或→X
R-m
其中0 ≤?，?≤R-1
该式的左边书写形式，右边为值，该数的总位数为字长。 通用记数法的浮点形式（称为浮点数）为 R ·(0.d1 d2?dm)R= Rp·(d1R-1+?+ dm R-m)
p
P为阶码，（0.d1d2?dm）R称为尾数0≤di≤R-1，若d1≠0则称该浮点数为规格化数；否则为非规格化数，m称字长。
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(10.20356)10=102·(0.1020356)10=103·(0.01020356)10
定点数 浮点规格化数 浮点非规格化数
二. 数值计算中的误差 1. 计数与数值
计算机的飞速发展，正在日益影响着人们对传统数值分析(即计算方法)的认识，仅靠数学理论的演绎和推导还不能解决实际中的数值问题。只有与计机相结合才能研制出实用的好算法。
数学与计算机学科学的密切关系，历史已作了回答。计算机科学是吸吮着数学乳汁而成长起来的。
A． 德国数学家Leibniz在研究组合数学时了现的二进制编是电子计算机诞生的基础；
B． 冯.诺依曼提出了用流程图描述计算机运行过程后，软件的研究才得以了展和遍地开花；
C． 流行一时的结构化程序设计也是Bohm和雅可比证明的一条数学原理“任何单入口和单出口且没有死循环的程序，都能由三种最基本的控制结构造出来”的产物；
另一方面，计算机的发展，给数学增加了新的血液： A. 证明玄妙的数学定理 B. 揭示某些数学规律
C. 求解许多令人一筹莫展的数学模型
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D. 并行算法
以计算机为工具来求解各种数学模型，均需要经历三个中间过程： A. 总体设计(模型的细化等) B. 详细设计(主要为算法设计) C. 程序设计
计算机数值方法主要是研究：将数学模型变成数值问题，并研究求解数值问题的数值方法，进行设计数值算法。
2. 数值问题与数值算法
通常将解决实际问题时应用有关科学知识和数学理论建立数学模型过程，归属于应用数学范围，将数学模型问题变成数值问题，进而研究求解数值问题的数值方法，并设计行之有效的数值算法的进程，归属于计算方法的范围。但是，在解决实际问题时，两者之间有时很难区分。
我们将求解“数值问题”的“计算机上可执行”的系列计算公式称为数值方法；将数值方法的总体称为计算方法，传统的计算方法主要就是研究“数值方法”。
所谓“数值问题”是指“输入数据与输出数据之间函数关系的一个确定而无歧义的描述”；所谓“计算机上可执行”的系列计算公式是指这一系列计算公式中的运算，只有四则运算和逻辑运算等是计算机上可执行的运算。
数学模型并不都是“数值问题”例： A. 求二次方程ax2+bx+c=0的根
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