近世代数第一章基本概念答案
§ 1 ． 集合
1.B?A，但B不是A的真子集，这个情况什么时候才能出现？ 解 由题设以及真子集的定义得，A的每一个元都属于B，因此A?B.于是由
B?A A?B
得A?B.所以上述情况在A=B时才能出现.
2. 假设A?B,A?B?? A?B??
解 （i） 由于A?B,所以A的每一个元都属于B,即A的每一个元都是A和B的共同元，因而由交集的定义得
A?A?B
但显然有
A?B?A
所以
A?B?A
(ii) 由并集的定义，A?B的每一个元素都属于A和B之一，但A?B,所以A?B的每一元素都属于B:
A?B?B
另一方面B?A?B,所以A?B?B.
§ 2 ． 映射
1. A={1,2,?，100}.找一个A?A到A的映射.
解 用?a,b?表示A?A的任意元素，这里a和b都属于A .按照定义做一个满足要求的映射即可，例如 ?： ?a,b?→a 就是这样的一个，因为?替A?A的任何元素?a,b?规定了一个唯一的象a,而a?A.
读者应该自己再找几个A?A到A的映射. 2.在你为习题1所找的映射之下，是不是A的每一个元都是A?A的一个元的象?
解 在上面给出的映射?之下，A的每一个元素都是A?A的一个元的象，因为?a,b?中的a可以是A的任一元素.
你自己找到的映射的情况如何？有没有出现A的元素不都是象的情况？假如没有，找一个这样的映射.
§ 3 ．代数运算
1. A={所有不等于零的偶数}.找一个集合D，使得普通除法是A?A到D的代数运算.是不是找得到一个以上的这样的D？
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解 一个不等于零的偶数除一个不等于零的偶数所得结果总是一个不等于零的有理数.
所以取 D={所有不等于零的有理数} 普通除法就是一个A?A到D的代数运算.
可以找得到一个以上的满足要求的D.读者可以自己找几个. 2.A??a,b,c?.规定A的两不同的代数运算.
解 （i）我们用运算表来给出A的一个代数运算： ? a b c
a a a a b a a a c a a a
按照这个表，通过?，对于A的任何两个元素都可以得出一个唯一确定的结果a来，而a仍属于A，所以?是A的人一个代数运算.
这个代数运算也可以用以下方式来加以描述 ?: ?x,y??a?xoy 对一切x,y?A (ii)同理
?: ?x,y??x?xoy 对一切x,y?A
也是A的一个代数运算.读者可用列表的方法来给出这个代数运算.
读者应自己给出几个A的代数运算.
§4 ．结合律
1. A={所有不等于零的实数}，?是普通的除法:
aob?a b这个代数运算适合不适合结合律？
解 这个代数运算?不适合结合律.例如， 当
a?4 b?c?2
时
42o2??1 22?2?4ao?boc??4o?2o2??4o????4
?2?1所以当a,b和c取上述值时
?aob?oc?ao?boc?
(aob)oc??4o2?o2?2. A={所有实数}，代数运算
?： （a,b）?a+2b=a?b
适合不适合结合律？
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解 读者可以用解上一题的方法来证明，所给代数运算不适合结合律.
3.A={a,b,c}.由表
a b c
a a b c b b c a c c a b
给出的代数运算适合不适合结合律？
解 所给代数运算?适合结合律.为了得出这个结论，需要对元素
3a,b,c的27（=3）种排列（元素允许重复出现）加以验证.但是利用元素a的特性，可以把验证简化.仔细考察运算表，我们发现以下规律：对集合A的任意元素x来说，都有 a?x=x?a=x
由此得出，对于有a出现的排列，结合律都成立.这一点读者可以自
3己验证.还剩下a不出现的排列.这样的排列共有8（=2）种.我们在这里验证4种，其余4种读者可以自己验证. （b?b）?b=c?b=a
b?(b?b)=b?c=a
所以 （b?b）?b=b?(b?b) (b?b)?c=c?c=b b?(b?c)=b?a=b 所以 (b?b)?c=b (b?c) (b?c)?b=a?b=b b?(c?b)= b?a=b 所以 (b?c)?b=b?(c?b) (b?c)?c=a?c=c b?(c?c)=b?b=c 所以 (b?c)?c=b?(c?c)
§5 ．交换律
1.A={所有实数}.?是普通减法：
a?b = a?b
这个代数运算适合不适合交换律？ 解 容易验证，当a = 1，b = 2时
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a?b?b?a 所以这个代数运算不适合交换律. 2. A={a , b ,c , d}，由表 a b c d
a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b
所给的代数运算适合不适合交换律？
解 要回答这个问题，只须考察一下运算表，看一看关于主对角线对称的位置上，有没有不相同的元素.易知此运算表不对称，所以此代数运算不适合交换律。 §6． 分配律
假定⊙,?是A的两个代数运算，并且适合?结合律，⊙，?适合两个分配律.证明
(a1⊙b1)⊕(a1⊙b2)⊕(a2⊙b1)⊕(a2⊙b2) =(a1⊙b1)⊕(a2⊙b1)⊕(a1⊙b2)⊕(a2⊙b2) 解 (a1⊙b1)⊕(a1⊙b2)⊕(a2⊙b1)⊕(a2⊙b2) =a1⊙(b1?b2)⊕a2⊙(b1?b2) =(a1?a2)⊙(b1?b2)
=(a1?a2)⊙b1⊕(a1?a2)⊙b2
=a1⊙b1)⊕(a2⊙b1)⊕(a1⊙b2)⊕(a2⊙b2)
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