专题： 计算题． 4分析： 利用复数的运算法则和周期性i=1即可得出． 解答： 解：∵4===﹣i，∴=i． 567823∵i=1，∴=i+i+i+i=i+i+i+1=i﹣1﹣i+1=0． 故答案为0． 4点评： 熟练掌握复数的运算法则和周期性i=1是解题的关键． 9．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．
下列关于f（x）的命题：
①函数f（x）的极大值点为0，4； ②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；
④函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个． x 2 4 5 ﹣1 0 1 2 1 2 1 f（x） 其中正确命题的序号是 ①②③ ．
考点： 利用导数研究函数的极值；命题的真假判断与应用． 专题： 阅读型；数形结合． 分析： 由导函数的图象看出函数的单调区间及原函数的极值点，结合函数f（x）在定义域[﹣1，5]内的部分对应值表，可以作出函数f（x）图象的大致形状，由图象形状可以判断四个命题的真假． 解答： 解：由导函数的图象可知，在定义域[﹣1，5]上，导函数有3个零点，分别是0，2，4， 且当x∈（﹣1，0）和x∈（2，4）时，导函数大于0，所以原函数在（﹣1，0），（2，4）上为增函数， 当x∈（0，2）和x∈（4，5）时，导函数小于0，所以原函数在（0，2），（4，5）上为减函数． 又f（﹣1）=1，f（0）=2，f（2）=1，f（4）=2，f（5）=1， 所以原函数的图象大致为： 5
由图可知：函数f（x）的极大值点为0，4．所以命题①正确； 函数f（x）在[0，2]上为减函数．所以命题②正确； 当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．所以命题③正确； 函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、2、3、4个．所以命题④不正确． 故答案为①②③． 点评： 本题考查的是判断命题的真假，考查了利用导数研究函数的极值，考查了数形结合的解题思想，解答此题的关键是通过导函数的图象得到原函数的单调区间及极值点的情况，属中档题． 10．（5分）在复平面内，复数
对应的点到直线y=x+1的距离是
．
考点： 点到直线的距离公式． 分析： 复数化为a+bi的形式，得到（a，b），然后求它到直线的距离． 解答： 解：复数1），此点到直线y=x+1的距离是故答案为：． 化为a+bi的形式，非常重要．本题是，在复平面内，复数 对应的点是（1，点评： 复数和复平面上的点是一一对应的，复数基础题目． 11．（5分）对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：222333
2=1+33=1+3+54=1+3+5+72=3+53=7+9+114=13+15+17+19．根据上述分解规律，则23*
5=1+3+5+7+9，若m（m∈N）的分解中最小的数是73，则m的值为 9 ． 考点： 类比推理． 专题： 计算题． 33333分析： 根据2=3+5，3=7+9+11，4=13+15+17+19，可知从2起，m的分解规律恰为数列3333，5，7，9，若干连续项之和，2为前两项和，3为接下来三项和，故m的首数为2m﹣m+1，利用条件可解． 333解答： 解：根据2=3+5，3=7+9+11，4=13+15+17+19， 3333从2起，m的分解规律恰为数列3，5，7，9，若干连续项之和，2为前两项和，3为接下来三项和， 32故m的首数为m﹣m+1
6
∵m（m∈N）的分解中最小的数是73， 2∴m﹣m+1=73 ∴m=9． 故答案为9． 点评： 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 12．（5分）已知复数z1=﹣1+2i，z2=1﹣i，z3=3﹣4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C，若 考点： 向量的共线定理；复数的基本概念． 专题： 综合题；转化思想． 分析： 由题设求出三点A，B，C的坐标，既得三个向量的坐标将三个向量的坐标代入向量方程，利用向量的相等建立起参数λ，μ的方程，求出λ，μ的值． 解答： 解：由题设得三点的坐标分别为A（﹣1，2），B（1，﹣1），C（3，﹣4）． 将三向量的坐标代入 ，则λ+μ的值是 1 ．
3*得（3，﹣4）=λ（﹣1，2）+μ（1，﹣1）， 因此，即， 所以λ+μ=1． 故应填 1 点评： 本题考查复数与向量的对应，以及向量相等的条件，复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上，向量相等则两向量的横纵坐标相等． 13．（5分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图
有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．则f
2
（4）= 37 ；f（n）= 3n﹣3n+1 ．
考点： 归纳推理． 专题： 规律型． 分析： 根据图象的规律可得相邻两项的差的规律可分析得出f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1），进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式． 解答： 解：由于f（2）﹣f（1）=7﹣1=6， f（3）﹣f（2）=19﹣7=2×6， f（4）﹣f（3）=37﹣19=3×6，
7
f（5）﹣f（4）=61﹣37=4×6，… 因此，当n≥2时，有f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1）， 所以f（n）=[f（n）﹣f（n﹣1）]+[f（n﹣1）﹣f（n﹣2）]+…+[f（2）﹣f（1）]+f（1）2=6[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1]+1=3n﹣3n+1． 22又f（1）=1=3×1﹣3×1+1，所以f（n）=3n﹣3n+1． 2当n=4时，f（4）=3×4﹣3×4+1=37． 2故答案为：37；3n﹣3n+1． 点评： 本题主要考查了数列的问题、归纳推理．属于基础题． 14．（5分）（2010?盐城三模）设a＞0，函数
的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围为
，若对任意
．
考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 压轴题． 分析： 先对函数g（x）求导判断出函数g（x）的单调性并求其最大值，然后对函数f（x）进行求导判断单调性求其最小值，最后令函数f（x）的最小值大于等于函数g（x）的最大值即可． 解答： 解：∵g（x）=x﹣lnx∴g'（x）=1﹣，x∈[1，e]，g'（x）≥0 函数g（x）单调递增 g（x）的最大值为g（e）=e﹣1 ∵f（x）=x+∴f'（x）=，令f'（x）=0∵a＞0∴x=a 2当0＜a＜1 f（x）在[1，e]上单调增 f（1）最小=1+a≥e﹣1∴1＞a≥当1≤a≤e 列表可知 f（a）最小=2a≥e﹣1 恒成立 当a＞e时 f（x）在[1，e]上单调减 f（e）最小=综上a≥故答案为：a≥ ≥e﹣1 恒成立 点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（14分）二阶矩阵M对应的变换将点（1，﹣1）与（﹣2，1）分别变换成点（﹣1，﹣1）与（0，﹣2）． （Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M；
（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x﹣y=4，求l的方程． 考点： 逆矩阵与投影变换；直线的一般式方程．
8
﹣1
