专题七 不等式
第二十一讲 不等式的综合应用
答案部分
2019年
1.解析 x?0，y?0，x?2y?5， 则?x?1??2y?1??2xy?x?2y?1?2xy?6?2xyxyxyxy?6； xy由基本不等式，2xy?666时，即…22xy??43（当且仅当2xy?xyxyxy?x?2?x?3?或?xy?3，且x?2y?5时，即?3时，等号成立）. ?y?1?y??2故
?x?1??2y?1?的最小值为4xy3. 2010-2018年
1．D【解析】点(2,1)在直线x?y?1上，ax?y?4表示过定点(0,4)，斜率为?a的直线，
当a?0时，x?ay?2表示过定点(2,0)，斜率为
1的直线，不等式x?ay≤2表示a的区域包含原点，不等式ax?y?4表示的区域不包含原点．直线ax?y?4与直线
x?ay?2互相垂直，显然当直线ax?y?4的斜率?a?0时，不等式ax?y?4表示
的区域不包含点(2,1)，故排除A；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为?当?a??3， 233，即a?时，ax?y?4表示的区域包含点(2,1)，此时x?ay?2表示2233的区域也包含点(2,1)，故排除B；当直线ax?y?4的斜率?a??，即a?时，
22ax?y?4表示的区域不包含点(2,1)，故排除C，故选D．
解法二 若(2,1)?A，则??2a?1?433，解得a?，所以当且仅当a≤时，
22?2?a≤2(2,1)?A．故选D．
2．A【解析】解法一 函数f(x)的图象如图所示，当y?|x?a|的图象经过点(0,2)时，可2x2x2知a??2．当y??a的图象与y?x?的图象相切时，由?a?x?，得
2x2xxx2?2ax?4?0，由??0，并结合图象可得a?2，要使f(x)≥|?a|恒成立，当
2a≤0时，需满足?a≤2，即?2≤a≤0，当a?0时，需满足a≤2，所以?2≤a≤2．
654321–4–3–2–1O–1y1234x
解法二 由题意x?0时，f(x)的最小值2，所以不等式f(x)≥|x?a|等价于 2|x?a|≤2在R上恒成立． 2x?23|?2，不符合题意，排除C、D； 2x当a??23时，令x?0，得|?23|?2，不符合题意，排除B；
2当a?23时，令x?0，得|选A．
3．C 【解析】若{an}是递减的等差数列，则选项A,B都不一定正确．若{an}为公差为0
的等差数列，则选项D不正确．对于C选项，由条件可知{an}为公差不为0的正确数列，由等差中项的性质得a2=正确．
4．B【解析】∵0 故f(ab) 11(f(a)+f(b))=(lna+lnb)=lnab=f(ab)=p， 22∴p=r ∵r=5．D【解析】由已知得3a?4b?ab，且ab?0，可知a?0,b?0， 43434b3a??1(a?0,b?0)，a?b?(a?b)(?)?7??≥7?43． ababab4b3a当且仅当?时取等号． ab所以 xyxy6．D【解析】本题考查的是均值不等式．因为1?2?2?22?2，即2x?y?2?2， 所以x?y??2，当且仅当2?2，即x?y时取等号． 7．B【解析】由x?3xy?4y?z?0，得z?x?3xy?4y． 所以 2222xyxyxy1x4y1，当且仅当， ?2????12x4yzx?3xy?4yyx??32x?4y?3yxyx2即x?2y时取等号此时z?2y，(xy)max?1. z11?1?21221221212y2y2)?1， ??????(1?)?(1?)?4(2xyz2yyxyyxy2y故选B. 228．C【解析】由x?3xy?4y?z?0得x?4y?3xy?z， 222x2?4y2zx2?4y24xy??3??3??3?1， xyxyxyxy当且仅当x?4y即x?2y时，将x?2y代入原式得z?2y， 所以x?2y?z?2y?2y?2y??2y?4y， 当y?1时有最大值2．故选C． 9．C【解析】Qx?3y?5xy， 22222z有最小值1， xy13??5， yx11313x12y13113(3x?4y)?(?)?(?)???2?36??5. 5yx5yx555 10．C【解析】Qx?3y?5xy， 13??5， yx11313x12y13113(3x?4y)?(?)?(?)???2?36??5. 5yx5yx55511．A【解析】设从甲地到乙地所走路程为S， 则v?2SSS?ab?211?ab?2ab2ab??ab． a?b2ab2ab2a2??a,∴a?v?ab．选A． ∵ a?b,∴ v?a?b2a12．B【解析】在同一坐标系中作出y?m，y?如下图， 8(m?0)，y?log2x图像 2m?1 ?mm由log2x= m，得x1?2,x2?2， ?2m?18，得x3?22m?1,x4?2． log2x= 2m?182m?188依题意得a?2?m?2?82m?1,b?2?2m82m?1b,?a2?22?m?2m?82m?1?22m82m?1?2m?82m?1． b814111?m????4??3，?()min?82． a2m?12m?12222a?b13．B【解】（方法一）已知a?b和ab?，比较a与ab， 2Qm?22因为a?(ab)?a(a?b)?0，所以a?ab，同理由 b2?(ab)2?b(b?a)?0得ab?b；作差法：b?a?bb?a??0， 22
