第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.4 函数的应用 3.4.1 函数与方程 第1课时 函数的零点
A级 基础巩固
1．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则( ) A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解 C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解
解析：因为函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)＜0，但未必函数y＝f(x)在(－1，3)上有实数解．
答案：D
2
??x＋2x－3，x≤0，
2．函数f(x)＝?的零点个数为( )
?－2＋ln x，x>0?
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：x≤0时由x2＋2x－3＝0?x＝－3；x>0时由－2＋ln x＝0?x＝e2.
答案：C
3．方程2x－x2＝0的解的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
解析：在同一坐标系画出函数y＝2x，及y＝x2的图象略，可看
出两图象有三个交点，故2x－x2＝0的解的个数为3.
答案：C
4．根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝ex－x－2的一个零点所在的区间是( )
x ex x＋2 －1 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 A.(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3) 解析：由上表可知f(1)＝2.72－3＜0， f(2)＝7.39－4＞0，
所以f(1)·f(2)＜0.所以f(x)在区间(1，2)上存在零点． 答案：C
65．(2014·北京卷)f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点
x的区间是( )
A．(0，1) C. (2，4)
B. (1，2) D．(4，＋∞)
解析：利用零点存在性定理，验证f(x)在各区间端点处的函数值的符号．
由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6631
＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝－log24＝－2＝－＜0，
422
由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点． 答案：C
6．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点构成的集合是________． 解析：因为f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
所以由f(x)＝0解得x＝－5或x＝1或x＝2. 答案：{－5，1，2}
7．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．
解析：因为奇函数的图象关于原点对称， 所以若f(x)有三个零点，则其和必为0. 答案：0
8．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．
解析：由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解， 故Δ＝4－4a＞0，即a＜1. 答案：(－∞，1)
9．若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2
＋3ax的零点是________．
解析：因为函数f(x)＝ax－b的一个零点是3， 所以x＝3是方程ax－b＝0的根． 所以b＝3a.
于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)， 令g(x)＝0，得x＝0或x＝－1. 答案：0，－1
10．设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________．
解析：令f(x)＝ln x＋x－4， 且f(x)在(0，＋∞)上递增， 因为f(2)＝ln 2＋2－4＜0，
f(3)＝ln 3－1＞0，
所以f(x)在(2，3)内有解．所以k＝2. 答案：2
11．判断函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数． 解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2. 令y1＝log2x，y2＝x－2.
画出两个函数的大致图象，如图所示，
函数的图象有两个不同的交点． 所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点． 12．函数f(x)＝x3－3x＋2. (1)求f(x)的零点；
(2)求分别满足f(x)＜0，f(x)＝0，f(x)＞0的x的取值范围． 解：f(x)＝x3－3x＋2＝x(x－1)(x＋1)－2(x－1)＝(x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x＋2)．
(1)令f(x)＝0，函数f(x)的零点为x＝1或x＝－2. (2)令f(x)＜0，得x＜－2.
所以满足f(x)＜0的x的取值范围是(－∞，－2)； 满足f(x)＝0的x的取值集合是{1，－2}； 令f(x)＞0，得－2＜x＜1或x＞1，
满足f(x)＞0的x的取值范围是(－2，1)∪(1，＋∞)．
B级 能力提升
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13．函数y＝lg x－的零点所在的大致区间是( )
x
