巧用锐角三角函数定义解题
重庆 胡太白
锐角三角形函数是初中几何的重要内容，是解直角三角形的基础，利用锐角三角函数定义解题，往往使计算方便简洁．
一、求锐角三角函数值
例1 已知∠A为锐角，sinA=
5
，求其他三角函数值． 13
解：设∠A为某直角三角形的锐角，其对边a为5k，斜边c为13k(k＞0)，则∠A的邻边b为12k．
b12k12
根据定义，得cosA= = = ，
c13k13a5k5
tanA= = = ，
b12k12 cotA=
12． 5
sinA+2cosA
的值．
3sinA-cosA
二、求条件代数式的值
例2 已知∠A为锐角，tanA=2．求
解：设∠A为Rt△ABC的一锐角，其对边为a，斜边为c，邻边为b． a
∵tanA= =2，∴a=2b．
b∴c=5 b
a2b2
∴sinA= = =
c 5 b5
5 ，
bb5
cosA= = =
c55b25 5 +2×554
∴原式= = ．
525 3× 5 -55
三、比较三角函数值的大小
例3 已知α为锐角，比较sinα与tanα的大小
解：设α为Rt△ABC的一锐角，其对边为a，邻边为b，斜边为c． aa
∵sinα= ，tanα= ，
cb又∵c＞b＞0， aa
∴ ＜ ， cb
即sinα＜tanα．
四、证明相关关系式
例4 在Rt△ABC中，∠C=90 ，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，求证：
b3sinA+a3sinB=abc．
证明：在Rt△ABC中，∵∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
ab
∴sinA= ，sinB= ，a2+b2=c2，
cc
aab3+a3bab(b2+a2)c33b∴bsinA+asinB= b· + a = = = ab· =abc．
ccccc
3
3
3
五、求特殊角的三角函数值
例5 求tan15 的值． 解：如右图，作Rt△ABC，使∠C=90 ，∠B=30 ，延长CB到D，使BD=BA，则∠D=15 ，设AC=k，则AB=2k，BC=3 k． ∴CD=(2+ 3 )k．
∴tanD= ACk
CD = (2+ 3 )k
=
1
(2+ 3 )
=2-3
∴tan15 =2-3
ADBC
