希望杯数学竞赛 《数列专题》
考试内容： 数列．
等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式． 考试要求：
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题． （3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题． 数 列 知识要点 等差数列 数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系 项 项数 通项 数列 等差数列的定义 等差数列的通项 等比数列 等差数列的性质 等差数列的前n项和 等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前n项和 等差数列 等比数列 1
定义 递推公式 通项公式 中项 an?1?an?dan?an?1?d ；an?am?n?md an?1an?q(q?0) an?an?1qan?a1qG??；an?amqn?m （a1,q?0） an?a1?(n?1)dn?1A?an?k?an?k2k?0an?kan?k(an?kan?k?0)（n,k?N*,n?前和 n） （n,k?N*,n?k?0） 项Sn?n2(a1?an) dSn?na1?n(n?1)2 ?na1(q?1)?Sn??a1?qna1?anq1?(q?2)?1?q1?q??? 重要性质 等差数列 定义 等比数列 {an}为G?P?an?1ann?k{an}为A?P?an?1?an?d(常数） ?q(常数） 通项公式 求和公式 an=a1+（n-1）d=ak+（n-k）d=dn+a1-d an?a1qn?1?akq sn??d2n(a1?an)2n?(a1?2?na1?)nn(n?1)2dd2 ?na1?sn??a1(1?qn)a1?anq??1?q?1?q(q?1)(q?1) 中项公式 A=m?2nama??abn?ap?aq(m,n,p,q?N,*an2?ap?aq(m,n,p,q?N,m?n?p?q) 推广：2an=an?m?an?ma m?G?ab。推广：an?an?m?an?m ?p?q)2*性质 1 若m+n=p+q则 am?an?ap?aq 若m+n=p+q，则aman?apaq。 若{kn}成等比数列 （其中kn?N），则{akn}成等比数列。 2 若{k}成A.P（其中kn?N）则{ak}nn也为A.P。 3 ．sn,s2n?sn,s3n?s2n 成等差数列。 sn,s2n?sn,s3n?s2n成等比数列。 2
4 d?an?a1n?1?am?anm?n(m?n) qn?1?ana1 ， qn?m?anam (m?n) 5 ⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①an?an?1?d(n?2,d为常数)②2an?an?1?an?1(n?2)③an?kn?b(n,k为常数). ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①2①an?an?1q(n?2,q为常数,且?0)②an?an?1?an?1(n?2，anan?1an?1?0)
注①：i. b?ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b?acii. b?ac（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要. iii. b??ac→为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. b??ac且ac?0→为
a、b、c等比数列.
a、b、c等比数列的充要.
注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个. ③an?cqn(c,q为非零常数).
④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x?1）成等比数列.
?s1?a1(n?1)a?⑷数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：n?
s?s(n?2)n?1?n[注]： ①an?a1??n?1?d?nd??a1?d?（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）. ②等差{an}前n项和Sn?d??d?2?2An?Bn???n??a1??n
2??2?? →
d2可以为零也可不为零→为等差的充要条件→
若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） ．．
2
2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k倍Sk,S2k?Sk,S3k?S2k...； ②若等差数列的项数为2n?n?N??，则S偶?S奇?nd，SS奇偶?anan?1；
?nn?1③若等差数列的项数为2n?1?n?N??，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，S奇
?代入n到2n?1得到所求项数
S偶.
n?n?1?23. 常用公式：①1+2+3 …+n =
3
②12?22?32??n2?n?n?1??2n?1?62
③13?23?33?n3??n?n?1????2??
59[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…?an?10n?1； 5，55，555，…?4. 等比数列的前n项和公式的常见应用题：
an??10n?1?.
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1?r. 其中第n年产量为a(1?r)n?1，且过n年后总产量为：
a[a?(1?r)]1?(1?r)na?a(1?r)?a(1?r)?...?a(1?r)2n?1?.
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1?r)n元. 因此，第二年年初可存款：
a(1?r)[1?(1?r)1?(1?r)12a(1?r)12?a(1?r)11?a(1?r)10?...?a(1?r)=
].
⑶分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.
a?1?r?m?x?1?r?m?1?x?1?r?m?2?......x?1?r??x?a?1?r?m?x?1?r?rm?1?x?ar?1?r?m?1?r?m
?15. 数列常见的几种形式：
⑴an?2?pan?1?qan（p、q为二阶常数）?用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程x2?Px?q（x2对应an?2，x对应an?1），并设二根x1,x2②若x1?x2可设
an.?c1x1?c2xnn2，若x1?x2可设an?(c1?c2n)xn1；③由初始值a1,a2确定c1,c2.
⑵an?Pan?1?r（P、r为常数）?用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为
an?2?Pan?1?qan的形式，再用特征根方法求an；④an?c1?c2Pn?1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.
?P(an?x)?an?1?Pan?Px?x?x???an?(a1?rP?1)PrP?1n?1①转化等差，等比：an?1?x.
r?(a1?x)Pn?1②选代法：an?Pan?1?r?P(Pan?2?r)?r??Pn?1?P?1?x
a1?Pn?2?r???Pr?r.
③用特征方程求解：
an?1?Pan?r??相减，?an?1?an?Pan?Paan?Pan?1?r?（Pn?1?an?1??1）an?Pan?1.
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