初中几何中线段相等的证明（黑庄户中学）
初中平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。 一、利用全等三角形的性质证明线段相等
全等三角形是初中几何的重要内容，它是证明线段相等、角相等的重要依据。这种方法最为普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
（描（找线段）----看△----观全等（无全等时要构造）---找条件） ［例1］利用角平分线，构造全等三角形证明线段相等。角是轴对称图形，并且角平分线上的点到角两边的距离相等，利用角的对称性和角平分线的性质，来构造全等三角形从而得到线段相等是解题的一个重要方法。
例题：如图，∠AOB＝90°,将三角尺的直角顶点落在∠AOB的 平分线上的任意一点P，使三角尺的两条直角边AOB的两边分别 相交于点E、F，试证PE＝PF
图1 图2
分析：如图1，因为OC是角平分线，所以本题可以过P点作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，不难发现只要证明△PME≌△PNF，即可得到PE＝PF，根据∠PME＝∠PNF＝90°、PM＝PN(角平分线性质)、∠MPE＝∠NPF这三个条件，利用ASA可以证明△PME≌△PNF。
如图2,因为OP是角平分线，则∠AOP＝∠BOP，所以本题还可以在OF上截取OG，使OG＝OE，利用SAS可以证明△POE≌△POG，所以PE＝PG，只要再证明△PGF是等腰△就可以得到PE＝PF。
［例2］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。求证：AE=BD。
1
证明 ∵△ACB和△BCE都是等边三角形 ∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60° ∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120° ∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120° ∴AC=CD，CE=CB
∴△ACE≌△DCB（SAS） ∴AE=DB
［例3］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。
证明：过点E作EG//AF交BC于点G ∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD ∵AB=AC
∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE ∵BE=CF，∴GE=CF 在△EGD和△FCD中，
∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF ∴△EGD≌△FCD（AAS） ∴ED=FD
构造全等三角形，技巧性强，难度大，在实际问题中，如何迅速地找到解题思路呢？具体问题具体分析，每个题目都有自己的最有特色的最具关键性的条件，解决问题要抓住关键，根据题目中的具体条件，从诸多的条件中找到一些关键性条件，构造出全等三角形，利用这个关键性条件构造全等三角形，常可达到事半功倍的效果。
二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等
如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。
［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。 求证：AF=EF
证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。 ∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD ∴△ADC≌△GDB
∴AC=GB，∠FAE=∠BGE ∵BE=AC
∴BE=BG，∠BGE=∠BEG
∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF ∴AE=EF
［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。 证明：∵DF⊥BC
∴∠DFB=∠EFC=90°，∠D=90°－∠B，∠CEF=90°－∠C ∵AB=AC，∴∠B=∠C ∴∠D=∠CEF ∵∠CEF=∠AED ∴∠D=∠AED
2
∴AD=AE
三、利用平行四边形的性质证明线段相等
如果所证两线段在一直线上或看似平行，用一、二方法不易，可以考虑此法。
［例1］如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于F， 求证：EF=FD。
证明：过D作DO⊥AC交AB于点O ∵OD垂直平分AC，∠ACB=90° ∴BC⊥AC
∴O点必为AB的中点，连结EO，则EO⊥AB ∵∠CAB=30°，∠BAE=∠CAD=60° ∴AD⊥AB，AE⊥AC ∴OE//AD，AE//OD
∴四边形ODAE为平行四边形
∴EF=FD
［例2］如图，AD是△ABC的中线，过DC上任意一点F作EG//AB，与AC和AD的延长线分别交于G和E，FH//AC，交AB于点H。 求证：HG=BE。
证明：延长AD到A”，使DA”=AD 又∵BD=CD
∴四边形BACA”是平行四边形 ∴BA=A”C
由题设可知HFGA也是平行四边形 ∴HF=AG ∵HF//AC，∴
又∵，HF=AG，BA=A”C
∴BH=EG
∴四边形BEGH是平行四边形 ∴HG=BE
四、利用中位线证明线段相等
如果已知中含有中点或等边等，用以上方法比较难，可以考虑此法。
［例1］如图，以△ABC的边AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD=∠ACE，M是BC的中点。
证明：DM=EM。
证明：延长BD至F，使DF=BD。
延长CE到G，使EG=CE，连结AF、FC，连结AG、BG ∵BD=FD，∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD ∴Rt△ABD≌Rt△AFD ∴∠BAD=∠FAD
同理可得：∠CAE=∠GAE
∵∠ABD=∠ACE
∴∠FAB=∠GAC，故∠FAC=∠GAB 在△ABG和△AFC中，
AB=AF，∠GAB=∠CAF，AG=AC ∴△ABG≌△AFC ∴BG=FC
又∵DF=DB，EC=EG，M是BC的中点 ∴DM=
=EM，即DM=EM
3
［例2］如图，△ABC中，∠C为直角，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE与正△ACD，DE与AB交于F 求证：EF=FD
证明：过D作DG//AB交EA的延长线于G，可得∠DAG=30° ∵∠BAD=30°＋60°=90° ∴∠ADG=90°
∵∠DAG=30°=∠CAB，AD=AC ∴Rt△AGD≌Rt△ABC ∴AG=AB，∴AG=AE ∵DG//AB
∴EF//FD
五、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等。
如果所证两线段所在的图形能构成直角三角形，并且可能构成斜边及斜边上的中线，用上面方法一时证不出来，可以考虑此法。
［例］如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：AG=AD。
证明：作DA、CE的延长线交于H ∵ABCD是正方形，E是AB的中点 ∴AE=BE，∠AEH=∠BEC ∠BEC=∠EAH=90°
∴△AEH≌△BEC（ASA） ∴AH=BC，AD=AH 又∵F是BC的中点 ∴Rt△DFC≌Rt△CEB ∴∠DFC=∠CEB ∴∠GCF＋∠GFC=∠ECB＋∠CEB=90° ∴∠CGF=90°
∴∠DGH=∠CGF=90° ∴△DGH是Rt△ ∵AD=AH ∴AG=
=AD
4
