P(A)??P(A|Bi)P(Bi) （1.4.10）
i?1n证 由定理假设，A是任何事件，如果A发生，那么它必然与图1.9）。即
?Bi?中一个同时发生（见
A?[AB1]?[AB2]?[AB3]??
因B1,B2,?,Bn两两互斥，故AB1,AB2,?,ABn亦两两互斥，由概率地定义1.2.3的性质3可得
P(A)?P(AB1)?P(AB2)???P(ABn)
再利用公式(1.4.5)就得
P(A)?P(A|B1)P(B1)?P(A|B2)P(B2)???P(A|Bn)P(Bn)
??P(A|Bi)P(Bi) □
i?1n
通常称上述公式为全概公式。这是一个非常有用的公式。 A?B4 A?B1 A B B B B1 2 3 4 B6 A?B6 B5 A?B2 A?B3 A?B5 图1.9 A?(A?B1)?(A?B2)???(A?B6)，对于B1?B2???B6??和Bi?Bj??,?i,j
全概率公式可以推广到可数的子集构成的分割的情形。即假设B1,B2,B3,?是可数多个互不相容事件，且满足
BiBj?? (i?j,i,j?1,2,?)，和
?B??，则如果有
ii?1?P(Bi?0)( i?1,2,?)，则对任意事件A有
29
P(A)??P(A|Bi)P(Bi) （1.4.11）
i?1
下面来探讨另一个问题。如果观测到事件A实际发生，要计算条件概率P(Bj|A)。通
过使用(1.4.4)和(1.4.11)，发现
P(Bj|A)?P(Bj?A)P(A|Bj)P(Bj) ?P(A)?P(A|Bi)P(Bi)i (1.4.12)
公式(1.4.12)称为贝叶斯(Bayes)公式，有许多的应用。
例1.4.6 (例1.4.5续)假设在质量检查时，该厂质检部门从全厂生产的元件中任意抽出1件进行检查时发现是次品，问它是第2个车间生产的概率为多少？
解 由题意，要计算P(B2|A)，由式(1.4.12)
P(B2|A)?P(A|B2)?P(B2)(0.5)(0.04)??0.526
P(A)(0.038)这样对于车间2中次品几率的认识就从原来的50％变成52.6％。 □
定理1.4.6(贝叶斯定理) 事件组
B1,B2,?,Bn为?的一个分割, 且有
P(B0(?ii)? ，则对任意事件1,?2,n,A有
P(A|Bj)P(Bj) P(Bj|A)?P(A|B)P(B)?iiiP(Bj?A)证 由条件概率公式(1.4.2) P(Bj|A)?
P(A)分子使用乘法公式（1.4.5）、分母用全概公式(1.4.10)即得。 □
通常称上述公式为贝叶斯公式或逆概公式。 下面用一个例子来结束本章，通过该例子中各种概率的计算，将本章的内容作一个复习。 例1.4.7 假设做下面的一个摸球游戏：一个口袋里最初装有2只等质的球，1只红球，一只白球。第1次从中随机抽取1球，观察其颜色，然后将球放回，并加入一个同色的球。再摸第2次，遵照同样的规则，即随机取出1个，观察其颜色，然后将球放回，并加入一个同色的球。再摸第3次。如果用H表示摸到的是红球，T表示摸到的是白球。则连续3次摸球的试验的样本空间可表为
??{HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}
并可以用下面的二叉树表示每一步的概率，见图1.10。
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3/4 H 2/3 H 1/4 T H 1/2 1/2 H 1/3 T 1/2 T 1/2 H 1/3 H 1/2 1/2 T T 1/4 H 2/3 T 3/4 T 图1.10 二叉树示意图
显然3次摸球不是互相独立的，容易计算得以下一些概率和条件概率
11P(?1?H)?,P(?1?T)?
2221P(?2?H|?1?H)?,P(?2?T|?1?H)?
3312P(?2?H|?1?T)?,P(?2?T|?1?T)?
3331P(?3?H|?1?H,?2?H)?,P(?3?T|?1?H,?2?H)?
4411P(?3?H|?1?H,?2?T)?,P(?3?T|?1?H,?2?T)?
2211P(?3?H|?1?T,?2?H)?,P(?3?T|?1?T,?2?H)?
2213P(?3?H|?1?T,?2?T)?,P(?3?T|?1?T,?2?T)?
44利用乘法公式计算前2次摸球结果的概率
121P(?1?H,?2?H)?P(?1?H)P(?2?H|?1?H)???,
233111P(?1?H,?2?T)?P(?1?H)P(?2?T|?1?H)???,
236111P(?1?T,?2?H)?P(?1?T)P(?2?H|?1?T)???,
236121P(?1?H,?2?T)?P(?1?T)P(?2?T|?1?T)???,
233利用乘法公式计算前3次摸球结果的概率，只给出结果，请读者自己补上计算过程
11P(?1?H,?2?H,?3?H)?,P(?1?H,?2?H,?3?T)?,
412
31
11,P(?1?H,?2?T,?3?T)?, 121211P(?1?T,?2?H,?3?H)?,P(?1?T,?2?H,?3?T)?,
121211P(?1?T,?2?T,?3?H)?,P(?1?T,?2?T,?3?T)?,
124P(?1?H,?2?T,?3?H)?利用全概率公式可以计算以下各个事件的概率
P(?2?H),P(?2?T),P(?3?H),P(?3?T)
利用贝叶斯公式可以计算以下各种条件概率
P(?1?H|?2?H),P(?1?T|?2?H),P(?1?H|?2?T),P(?1?T|?2?T)， P(?1?H,?2?H|?3?H),P(?1?H,?2?T|?3?H), P(?1?T,?2?H|?3?H),P(?1?T,?2?T|?3?H), P(?1?H,?2?H|?3?T),P(?1?H,?2?T|?3?T), P(?1?T,?2?H|?3?T),P(?1?T,?2?T|?3?T).
把这些都留作作业。
§1.5 阅读材料一：概率的起源和解释
1.5.1 概率的发展历史
概率论有着奇特的历史，很难说它的起源在什么时候，它和人类社会本身一样古老。赌博的思想在概率论的早期发展中扮演了重要的角色。大约公元前3500年，在古埃及和别的地区已经出现利用骨制物体进行赌博，它就是掷骰子的先驱。从公元前2000年的古埃及坟墓中出土的用马的腿骨做成的小立方体就是现代骰子的前身。到了十五世纪，海上保险在意大利开始发展起来，表明在那时至少有了初步的概率知识。
概率的数学描述可以追溯到十七世纪由法国数学家Blaise Pascal（1623－1662）和Pierre Fermat（1601－1665）首创的，他们成功地计算出包括掷骰子的一些赌博的概率。而更早的Girolamo Cardano（1501－1576）和Galileo Galilei（1564－1642）已经算出掷骰子的各种排列组合的可能性的数值。不幸的是人们常常由此感觉赌博是概率的主要的用途。但事实上概率的用途十分广泛，本书将给出一些例子，希望改变人们的感觉。
自从十七世纪以来概率论得到了稳步的发展并且被广泛地应用到很多领域。在十九世纪末二十世纪初，物理、通讯和金融方面的进展对概率的应用起了重要影响。
其一是物理学
图1.11 布朗运动示意图
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