第三章 K元线性回归模型
一、填空题
1. 对于模型Yi??0??1Xi1??2Xi2????kXik?ui，i=1,2,…,n，一般经验认为，满足模型估计的基本要求的样本容量为_ _
2. 对于总体线性回归模型Yi??0??1Xi1??2Xi2??3Xi3?ui，运用最小二乘法欲得到参数估计量，所要求的最小样本容量n应满足 或至少_________。
3. 多元线性计量经济学模型的矩阵形式 ，对应的样本线性回归模型的矩阵形式 ，模型的最小二乘参数估计量 及其方差估计量 。
4. 总平方和可以分解为 和 ，可决系数为 。
5. 多元回归方程中每个解释变量的系数β（偏回归系数），指解释变量变化一个单位引起的被解释变量平均变化 个单位。
6. 线性模型的含义，就变量而言，指的是回归模型变量的 ；就参数而言，指的是回归模型中参数的 。通常线性回归模型指的是 。
二、问答题
1． 什么是多元回归模型？它与一元、二元回归模型有何区别？ 2． 极大似然法（maximum likehood）的原理是什么？ 3． 什么是拟合优度（R2）检验？有什么作用？ 4． 可决系数R2低的可能的原因是什么？
5． 多元回归的判断系数R具有什么性质？运用R时应注意什么问题？
6． 多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有
效性的过程中，哪些基本假设起了作用？ 7． 说明区间估计的含义。
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三、实践题
1．下表给出三变量模型的回归结果：
方差来源 回归平方和(ESS) 残差平方和(RSS) 总平方和(TSS)
平方和（SS）
65965 66042
自由度（d.f.）
14
均方差(MSS)
要求：（1）样本容量是多少？（2）求RSS？（3）ESS和RSS的自由度各是多少？（4）
求R2和R？（5）检验假设：X1和X2对Y无影响。你用什么假设检验？为什么？（6）根据以上信息，你能否确定X1和X2各自对Y的贡献吗？
2．下面给出依据15个观察值计算得到的数据，其中小写字母代表了各值与其样本均值的离差。
Y?367.693 ， X1?402.760 ，X22?8.0
，?yi?66042.269
yix1i?74778.346
2?x?21i?84855.096 ，
?x2i?280.0，
x2i?4796.02?yix2i?4250.9 ，
?x1i
2要求：（1）估计三个多元回归系数；（2）估计它们的标准差；并求出R2与R？（3）估计?1、?295%的臵信区间；（4）在?尾检验）；（5）给出方差分析表。
3．考虑以下方程（括号内为估计标准差）：n?19，R2?0.873
??8.562?0.364P?0.004PWitt?1?2.560Ut (0.080) (0.072) (0.658)
?5%下，检验估计的每个回归系数的统计显著性（双
其中：W—t年的每位雇员的工资和薪水；P—t年的物价水平；U—t年的失业率。 要求：（1）对个人收入估计的斜率系数进行假设检验；
（2）讨论Pt?1在理论上的正确性，对本模型的正确性进行讨论；Pt?1是否应从方程中删除？为什么？
4．克莱因和戈德伯格曾用1921-1941年与1945-1950年（1942-1944年战争期间略去）美国国内消费C和工资收入W、非工资—非农业收入P、农业收入A的共27年时间序列资料，利用普通最小二乘法估计得出了下列回归方程：
2Ct?8.133?1.059Wt?0.452Pt?0.121AtR?0.95, F?107.37， ( 8 . 9 (2 0 ). 1 7 ( )0 . 4 5( 21 ) . 0
式中括号中的数字为相应参数估计量的标准误。试对该模型进行评价，指出其中存在的问
F(3,23)?3.03, t0.025(23)?2.069题。（显著性水平??5%，已知0.05）
5．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为
edu?10.36?0.094sibs?0.131medu?0.210fedu，R=0.214
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式中，edu为劳动力受教育年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu与fedu分别为母亲与父亲受到教育的年数。问
（1）sibs是否具有预期的影响？为什么？若medu与fedu保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要sibs增加多少？
（2）请对medu的系数给予适当的解释。
（3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数为12年，另一个的父母受教育的年数为16年，则两人受教育的年数预期相差多少？
6．以企业研发支出（R&D）占销售额的比重为被解释变量（Y），以企业销售额（X1）与利润占销售额的比重（X2）为解释变量，一个有32个企业的样本估计结果如下：
Y?0.472?0.32log(X1)?0.05X2(1.37)(0.22)(0.046) ,2R?0.099
其中括号中为系数估计值的标准差。
（1）解释log(X1)的系数。如果X1增加10%，估计Y会变化多少个百分点？这在经济上是一个很大的影响吗？
（2）针对R&D强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不虽X1而变化的假设。分别在5%和10%的显著性水平上进行这个检验。
（3）利润占销售额的比重X2对R&D强度Y是否在统计上有显著的影响？
（3）对X2，参数估计值的t统计值为0.05/0.46=1.087，它比在10%的显著性水平下的临界值还小，因此可以认为它对Y在统计上没有显著的影响。
7．下表为有关经批准的私人住房单位及其决定因素的4个模型的估计量和相关统计值（括号内为p-值）（如果某项为空，则意味着模型中没有此变量）。数据为美国40个城市的数据。模型如下：
housing??0??1density??2value??3income??4popchang??5unemp??6localtax??7statetax??
式中housing——实际颁发的建筑许可证数量，density——每平方英里的人口密度，value——自由房屋的均值（单位：百美元），income——平均家庭的收入（单位：千美元），popchang——1980~1992年的人口增长百分比，unemp——失业率，localtax——人均交纳的
地方税，statetax——人均缴纳的州税 变量 C Density Value Income Popchang Unemp Localtax Statetax RSS R
Se2
模型A 813 (0.74) 0.075 (0.43) -0.855 (0.13) 110.41 (0.14) 26.77 (0.11) -76.55 (0.48) -0.061 (0.95) -1.006 (0.40) 4.763e+7 0.349 1.488e+6 1.776e+6
模型B -392 (0.81) 0.062 (0.32) -0.873 (0.11) 133.03 (0.04) 29.19 (0.06)
-1.004 (0.37) 4.843e+7 0.338 1.424e+6 1.634e+6
模型C -1279 (0.34) 0.042 (0.47) -0.994 (0.06) 125.71 (0.05) 29.41 (0.001)
4.962e+7 0.322 1.418e+6 1.593e+6
模型D -973 (0.44)
-0.778 (0.07) 116.60 (0.06) 24.86 (0.08)
5.038e+7 0.312 1.399e+6 1.538e+6
AIC
（1）检验模型A中的每一个回归系数在10%水平下是否为零（括号中的值为双边备择p-值）。根据检验结果，你认为应该把变量保留在模型中还是去掉？
（2）在模型A中，在10%水平下检验联合假设H0：?i =0(i=1,5,6,7)。说明被择假设，计算检验统计值，说明其在零假设条件下的分布，拒绝或接受零假设的标准。说明你的结论。
（3）哪个模型是“最优的”？解释你的选择标准。
（4）说明最优模型中有哪些系数的符号是“错误的”。说明你的预期符号并解释原因。确认其是否为正确符号。
参考答案 一、填空题
1.n≥30或至少n≥3（k+1）；2. n≥30或至少n≥24；3.Y2Var(b)??u(X?X)ii?1?X??uY，
?Xb?e?1，b?(X?X)X?Y，
; 4.回归平方和；残差平方和；回归平方和与残差平方和之比。5. β ；
6.非线性；非线性；变量非线性而参数为线性。
二、问答题
1. 答：回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性回归模型比一元线性回归模型多了“解释变量之间不存在线性相关关系”的假定；三是多元线性回归模型的参数估计式的表达更复杂。
2. 答：极大似然法（ML）是不同于OLS法的另一种模型参数估计方法。ML方法需要利用有关模型随机扰动项分布的知识构建似然函数，然后利用使似然函数最大的方法得出参数估计。其基本思路是确定观察到的样本数据最可能来自某个分布，该分布的参数值即为总体参数的估计量。
3. 答：所谓拟合优度检验，指对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验。如果所有的观测值都落在回归线上，称为“完全拟合”。这种情况很少发生。一般情况下，总会出现围绕在回归直线周围的正或负的残差。通过对残差的分析，有助于衡量回归直线与样本观察值的拟合程度。反映回归模型拟合优劣的一个数量指标是样本可决系数R2，也称判定系数。另一个是对回归模型的F统计检验。估计方程的目的常常不是为了获得高R2，而是要得到可靠的参数估计，以便利用估计结果进行统计推断。注意不要将判断系数作为评价模型优劣的唯一标准。
4. 答：可能由于：X不是Y的良好解释变量；模型形式设定有误。一般地，利用时间序列数据估计的模型R值较高，而利用截面数据估计的模型R值较低。
5. 答：R的取值取决在0～1之间。若Y的全部变异都得到了解释，则R=1，若解释变量没有如何解释能力，有R2=0。在模型中不包含常数项的情况下，R2的值可能超出0～1范围；是解释变量的非减函数，即增加解释变量不会降低R2，在大多数情况下，R2会增大。
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