答案
26 8
?π?22
解析 ∵α∈?0，?，且2sinα－sinα·cosα－3cosα＝0，
2??
则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，
?π?又∵α∈?0，?，sinα＋cosα>0， 2??
∴2sinα＝3cosα，又sinα＋cosα＝1， ∴cosα＝213
，sinα＝313，
2
2
π??sin?α＋?4??
∴ sin2α＋cos2α＋1
2
?sinα＋cosα?2226
＝＝＝. 222?sinα＋cosα?＋?cosα－sinα?4cosα8(2)已知sinα＝答案
π
4
510，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝. 510
ππ
解析 因为α，β均为锐角，所以－<α－β<. 22又sin(α－β)＝－又sinα＝
10310
，所以cos(α－β)＝. 1010
525
，所以cosα＝， 55
5310
×－510
所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝25?210?
×?－＝. ?5?10?2π所以β＝. 4
5
题型三 三角恒等变换的应用
例3(2017·浙江)已知函数f(x)＝sinx－cosx－23sinxcosx(x∈R)． (1)求f?2
2
?2π?的值；
??3?
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间． 2π32π1
解 (1)由sin＝，cos＝－，得
3232
f?
?2π?＝?3?2－?－1?2－23×3×?－1?＝2.
???????2?2??3??2??2?
2
2
(2)由cos2x＝cosx－sinx与sin2x＝2sinxcosx， π??得f(x)＝－cos2x－3sin2x＝－2sin?2x＋?.
6??所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，得
ππ3π
＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 262π2π
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
63所以f(x)的单调递增区间为
?π＋kπ，2π＋kπ?(k∈Z)． ?6?3??
思维升华三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a＋bsin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
6
2
2
跟踪训练2 (2018·北京)已知函数f(x)＝sinx＋3sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期；
π?3?－，m?上的最大值为，求m的最小值． (2)若f(x)在区间?
2?3?解 (1)f(x)＝sinx＋3sinxcosx 113
＝－cos2x＋sin2x 222π?1?＝sin?2x－?＋，
6?2?所以f(x)的最小正周期T＝
2π
＝π. 2
2
2
π?1?(2)由(1)知，f(x)＝sin?2x－?＋. 6?2?
π5πππ
由题意知－≤x≤m，所以－≤2x－≤2m－. 36663?π?要使得f(x)在区间?－，m?上的最大值为，
2?3?π???π?即sin?2x－?在区间?－，m?上的最大值为1，
6???3?πππ
所以2m－≥，即m≥.
623π
所以m的最小值为. 3
化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用
讨论形如y＝asin ωx＋bcos ωx型函数的性质，一律化成y＝a＋bsin(ωx＋φ)
2
2
7
型的函数；研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sin x的图象解决．
?π??π?例已知函数f(x)＝4tanx·sin?－x?·cos?x－?－3.
3??2??
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
?ππ?(2)讨论f(x)在区间?－，?上的单调性．
?44?
???π
解 (1)f(x)的定义域为?x?x≠＋kπ，k∈Z
2???
??
?. ??
f(x)＝4tanxcosxcos?x－?－3
3
??
π??
3?1??π?＝4sinxcos?x－?－3＝4sinx?cosx＋sinx?－3
3??2?2?＝2sinxcosx＋23sinx－3＝sin2x＋3(1－cos2x)－3 π??＝sin2x－3cos2x＝2sin?2x－?.
3??所以f(x)的最小正周期T＝
2π
＝π. 2
2
π?5ππ??ππ?(2)因为x∈?－，?，所以2x－∈?－，?，
6?3?6?44?π?π?5π
由y＝sinx的图象可知，当2x－∈?－，－?，
2?3?6π??π
即x∈?－，－?时，f(x)单调递减；
12??4
π?ππ??ππ?当2x－∈?－，?，即x∈?－，?时，f(x)单调递增．
3?26??124?
π??ππ??ππ??π
所以当x∈?－，?时，f(x)在区间?－，?上单调递增，在区间?－，－?上单调
12??44??124??4递减．
8
