第2课时 简单的三角恒等变换
题型一 三角函数式的化简2
1．化简：sin2α－2cosαsin??π＝.
?α－4???答案 22cosα
2
解析 原式＝2sinαcosα－2cosα2
＝22cosα.
2?sinα－cosα?2cos4x－2cos2
x＋
12．化简：2
＝2tan??π?4－x???sin2??π?4＋x?.
??答案 1
2
cos2x
1?4cos4x－4cos2
x＋解析 原式＝2
1?sin??π－? 2×?4x??·cos2??π－?cos??π?4－x???4x?
??2
2
＝?2cosx－1?
4sin??π?4－x??π ?cos???4－x???2
2
＝cos2xcos2x12sin??π?2－2x?＝?2cos2x＝2cos2x.
?
1
sin?2α＋β?
3．化简：－2cos(α＋β)．
sinαsin?2α＋β?－2sinαcos?α＋β?
解 原式＝ sinαsin[α＋?α＋β?]－2sinαcos?α＋β?＝ sinαsinαcos?α＋β?＋cosαsin?α＋β?－2sinαcos?α＋β?＝ sinαcosαsin?α＋β?－sinαcos?α＋β?＝
sinαsin[?α＋β?－α]sinβ＝＝. sinαsinα思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．
题型二 三角函数的求值
命题点1 给角求值与给值求值
例1(1)(2018·太原质检)[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin80°＝. 答案
6
2cos10°＋3sin10°??
解析 原式＝?2sin50°＋sin10°·?·
cos10°??13??cos10°＋sin10°??222sin80°＝
?2sin50°＋2sin10°·?·
cos10°??2cos10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22×
3
＝6. 2
π?π?10??π??(2)(2018·聊城模拟)已知cos?θ＋?＝，θ∈?0，?，则sin?2θ－?＝. 4?102?3????答案
4－33
10
π??1＋cos?2θ＋?2?1π?π?4??2?解析 由题意可得cos?θ＋?＝＝，cos?2θ＋?＝－sin2θ＝－，
4?2?2105??
2
即sin2θ＝4
5
.
因为cos???θ＋π4??10?＝?π??10>0，θ∈?0，2??， 所以0<θ<π4，2θ∈???
0，π2???，
根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝3
5，
由两角差的正弦公式，可得
sin??π?2θ－3??ππ?＝sin2θcos3－cos2θsin3 ＝41334－5×2－5×2＝33
10. 命题点2 给值求角
例2(1)设α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－310
10，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.
5π7π4或4
答案 C
解析 ∵α，β为钝角，sinα＝53105，cosβ＝－10， ∴cosα＝－255，sinβ＝10
10
，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝2
2
>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈??3π?2，2π??
?
，
∴α＋β＝7π
4
. (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－1
7，则2α－β的值为．
答案 －3π
4
解析 ∵tanα＝tan[(α－β)＋β]
3
11－27tan?α－β?＋tanβ1
＝＝＝>0， 1－tan?α－β?tanβ113
1＋×27π
∴0<α<. 2
12×32tanα3
又∵tan2α＝＝＝>0， 2
1－tanα?1?24
1－???3?π
∴0<2α<，
2
31＋47tan2α－tanβ∴tan(2α－β)＝＝＝1.
1＋tan2αtanβ31
1－×471π
∵tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
723π
∴2α－β＝－.
4引申探究
本例(1)中，若α，β为锐角，sinα＝答案
π 4
5310，cosβ＝，则α＋β＝. 510
2510
解析 ∵α，β为锐角，∴cosα＝，sinβ＝，
510∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ 253105102
＝×－×＝.
5105102π又0<α＋β<π，∴α＋β＝. 4
思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．
?π?22
跟踪训练1 (1)已知α∈?0，?，且2sinα－sinα·cosα－3cosα＝0，则
2??
π??sin?α＋?4??
＝.
sin2α＋cos2α＋1
4
