习 题 一
1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子，
A=“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.” B=“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A=“第一次出现正面.”
B=“至少有一次出现正面.” C=“两次出现同一面.”
2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生； （3） A，B，C都发生；
（4） A，B，C至少有一个发生； （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生；
（7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生.
3. 指出下列等式命题是否成立，并说明理由. （1） A∪B=（AB）∪B； （2） AB=A∪B； （3）A?B∩C=AB C； （4） （AB）（AB）=?；
（5） 若A?B，则A=AB；
（6） 若AB=?，且C?A，则BC=?； (7) 若A?B，则B?A； (8) 若B?A,则A∪B=A.
4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.
5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？
6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率 是
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多少？
8.对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.
9.从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率.10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n （2） n件是无放回逐件取出的； （3） n件是有放回逐件取出的. 11.在电话号码簿中任取一电话号码，求后面四个数全不相同的概率（设后面四个数中的每一个数都是等可能地取自0，1，?，9）. 12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉. 若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： （1）两粒都发芽的概率； （2）至少有一粒发芽的概率； （3）恰有一粒发芽的概率. 15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止. （1）问正好在第6次停止的概率； （2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数 相等的概率. 17.从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： （1）在下雨条件下下雪的概率； （2）这天下雨或下雪的概率. 19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为 女是等可能的）. 20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是 男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率. 22.从（0，1）中随机地取两个数，求： （1）两个数之和小于6/5的概率； （2）两个数之积小于1/4的概率. 23.设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B). 24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率. 2 25.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1） 考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2） 考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 26.将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？ 27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）. 28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人点20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9? 32.证明：若P（A｜B)=P(A｜B)，则A，B相互独立. 33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为1/5， 1/3， 1/4，求将此密码破译出的概率. 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率. 35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”； （2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”. 37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐， （1） 求甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 求甲、乙、丙三人坐在一起的概率； （3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 38.将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率. 39.某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k次（k=1,2,?,n)才能把门打开的概率与k无关. 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出 3 一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai)（i=0,1,2,3）. 41.对任意的随机事件A，B，C，试证 P（AB）+P（AC）-P（BC）≤P(A). 42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 43.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率. 44.掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率. 45.设甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率. 46.证明“确定的原则”（Sure-thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，则P（A）≥P(B). 47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率. 48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1. 49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？ 51.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率. 52.设A，B是任意两个随机事件，求P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}的值. （1997研考） 53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件： ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）. （1999研考） 54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）. （2000研考） 55.随机地向半圆0 2ax?x2 (a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率 与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少？ （1991研考） 56.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率. （1993研考） 57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. （1） 求先抽到的一份是女生表的概率p； （2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. （1998研考） 58. 设A，B为随机事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小. (2006研考) 4
